はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解いていきます。

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解いていきます。

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1. 問題の内容**

(1) グラフが3点 $(1, 0)$, $(0, 1)$, $(-1, 6)$ を通る2次関数を求めよ。

(2) グラフが3点 $(3, 0)$, $(0, -9)$, $(-2, 5)$ を通る2次関数を求めよ。

(3) 2次関数 $y = x^2 - 6x + a$ ($1 \leq x \leq 4$) の最小値が $-2$ のとき、定数 $a$ の値を求め、そのときの最大値を求めよ。

(4) 2次関数 $y = x^2 + 2x + 2a$ ($-2 \leq x \leq 1$) の最大値が $9$ のとき、定数 $a$ の値を求め、そのときの最小値を求めよ。

(5) 2次関数 $y = x^2 - (a-1)x + 4$ のグラフが $x$ 軸と接するとき、定数 $a$ の値を求めよ。

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2. 解き方の手順**

**(1) グラフが3点 $(1, 0)$, $(0, 1)$, $(-1, 6)$ を通る2次関数**

* 2次関数を $y = ax^2 + bx + c$ とおく。

* 与えられた3点の座標を代入する。

* $(1, 0)$ より、 $a + b + c = 0$

* $(0, 1)$ より、 $c = 1$

* $(-1, 6)$ より、 $a - b + c = 6$

* 上記の3つの式から $a, b, c$ を求める。$c=1$ を代入すると

* $a + b + 1 = 0$

* $a - b + 1 = 6$

* これらを解いて、$a = 2$, $b = -3$

* よって、2次関数は $y = 2x^2 - 3x + 1$

**(2) グラフが3点 $(3, 0)$, $(0, -9)$, $(-2, 5)$ を通る2次関数**

* 2次関数を $y = ax^2 + bx + c$ とおく。

* 与えられた3点の座標を代入する。

* $(3, 0)$ より、 $9a + 3b + c = 0$

* $(0, -9)$ より、 $c = -9$

* $(-2, 5)$ より、 $4a - 2b + c = 5$

* 上記の3つの式から $a, b, c$ を求める。$c=-9$ を代入すると

* $9a + 3b - 9 = 0$

* $4a - 2b - 9 = 5$

* 整理して

* $3a + b = 3$

* $2a - b = 7$

* これらを解いて、$a = 2$, $b = -3$

* よって、2次関数は $y = 2x^2 - 3x - 9$

**(3) 2次関数 $y = x^2 - 6x + a$ ($1 \leq x \leq 4$) の最小値が $-2$ のとき、定数 $a$ の値を求め、そのときの最大値を求めよ。**

* 平方完成する: $y = (x - 3)^2 - 9 + a$

* 軸は $x = 3$ であり、定義域 $1 \leq x \leq 4$ に含まれる。

* 最小値は頂点の $y$ 座標なので、$-9 + a = -2$ より $a = 7$

* $a = 7$ のとき、$y = x^2 - 6x + 7$

* $x = 1$ のとき $y = 1 - 6 + 7 = 2$

* $x = 4$ のとき $y = 16 - 24 + 7 = -1$

* よって、最大値は $2$

**(4) 2次関数 $y = x^2 + 2x + 2a$ ($-2 \leq x \leq 1$) の最大値が $9$ のとき、定数 $a$ の値を求め、そのときの最小値を求めよ。**

* 平方完成する: $y = (x + 1)^2 - 1 + 2a$

* 軸は $x = -1$ であり、定義域 $-2 \leq x \leq 1$ に含まれる。

* $x = 1$ のとき $y = 1 + 2 + 2a = 3 + 2a$

* $x = -2$ のとき $y = 4 - 4 + 2a = 2a$

* 最大値は $x=1$ の時なので、$3 + 2a = 9$ より $2a = 6$ よって $a = 3$

* $a = 3$ のとき、$y = (x + 1)^2 - 1 + 6 = (x + 1)^2 + 5$

* 最小値は頂点の $y$ 座標なので、$5$

**(5) 2次関数 $y = x^2 - (a-1)x + 4$ のグラフが $x$ 軸と接するとき、定数 $a$ の値を求めよ。**

* 判別式 $D = (a-1)^2 - 4(1)(4) = 0$ であれば、$x$ 軸と接する。

* $(a-1)^2 = 16$

* $a - 1 = \pm 4$

* よって、$a = 5$ または $a = -3$

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3. 最終的な答え**

(1) $y = 2x^2 - 3x + 1$

(2) $y = 2x^2 - 3x - 9$

(3) $a = 7$, 最大値は $2$

(4) $a = 3$, 最小値は $5$

(5) $a = 5, -3$