2つの2次方程式 $x^2-(5-a)x+(a-1)^2=0$ と $x^2+(a-4)x-3+a^2=0$ の少なくとも一方が実数解を持つような $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2つの2次方程式 $x^2-(5-a)x+(a-1)^2=0$ と $x^2+(a-4)x-3+a^2=0$ の少なくとも一方が実数解を持つような $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの2次方程式が実数解を持つための条件を判別式を用いて考えます。

(1) $x^2-(5-a)x+(a-1)^2=0$ が実数解を持つ条件

判別式 $D_1 = (5-a)^2 - 4(a-1)^2 \ge 0$

展開して整理すると、

$25 - 10a + a^2 - 4(a^2 - 2a + 1) \ge 0$

$25 - 10a + a^2 - 4a^2 + 8a - 4 \ge 0$

$-3a^2 - 2a + 21 \ge 0$

$3a^2 + 2a - 21 \le 0$

$(3a - 7)(a + 3) \le 0$

$-3 \le a \le \frac{7}{3}$

(2) $x^2+(a-4)x-3+a^2=0$ が実数解を持つ条件

判別式 $D_2 = (a-4)^2 - 4(a^2-3) \ge 0$

展開して整理すると、

$a^2 - 8a + 16 - 4a^2 + 12 \ge 0$

$-3a^2 - 8a + 28 \ge 0$

$3a^2 + 8a - 28 \le 0$

$(3a + 14)(a - 2) \le 0$

$-\frac{14}{3} \le a \le 2$

少なくとも一方が実数解を持つ条件は、(1)または(2)を満たすことです。

数直線上にそれぞれの範囲を表すと、

(1) $-3 \le a \le \frac{7}{3}$

(2) $-\frac{14}{3} \le a \le 2$

したがって、$a$ の範囲は $-\frac{14}{3} \le a \le \frac{7}{3}$ となります。

3. 最終的な答え

$-\frac{14}{3} \le a \le \frac{7}{3}$

サシスセ = -14/3

ソ/タ = 7/3