2次関数 $y = x^2 + 3mx + m - 2$ のグラフが、$x$ 軸の $x > -3$ の部分と $x < -3$ の部分で交わるような定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 + 3mx + m - 2$ のグラフが、$x$ 軸の $x > -3$ の部分と $x < -3$ の部分で交わるような定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

この問題を解くには、まず $f(x) = x^2 + 3mx + m - 2$ とおきます。

グラフが $x > -3$ と $x < -3$ の部分で $x$ 軸と交わる条件は、$f(-3) < 0$ であることです。

これは、グラフが $x = -3$ のとき、$x$ 軸よりも下にある必要があることを意味します。

$f(-3)$ を計算します。

$f(-3) = (-3)^2 + 3m(-3) + m - 2 = 9 - 9m + m - 2 = 7 - 8m$

条件 $f(-3) < 0$ より、

$7 - 8m < 0$

$8m > 7$

$m > \frac{7}{8}$

したがって、$m > \frac{7}{8}$ が求める $m$ の範囲です。

3. 最終的な答え

$m > \frac{7}{8}$