2つの2次方程式 $x^2 - (5-a)x + (a-1)^2 = 0$ と $x^2 + (a-4)x - 3 + a^2 = 0$ の少なくとも一方が実数解をもつような $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2つの2次方程式 $x^2 - (5-a)x + (a-1)^2 = 0$ と $x^2 + (a-4)x - 3 + a^2 = 0$ の少なくとも一方が実数解をもつような $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

それぞれの2次方程式が実数解を持つための条件は、判別式が0以上になることです。

まず、1つ目の2次方程式 $x^2 - (5-a)x + (a-1)^2 = 0$ の判別式 $D_1$ を計算します。

$D_1 = (5-a)^2 - 4(a-1)^2 = (25 - 10a + a^2) - 4(a^2 - 2a + 1) = 25 - 10a + a^2 - 4a^2 + 8a - 4 = -3a^2 - 2a + 21$

この2次方程式が実数解を持つためには、$D_1 \geq 0$ である必要があります。

$-3a^2 - 2a + 21 \geq 0$

$3a^2 + 2a - 21 \leq 0$

$(3a - 7)(a + 3) \leq 0$

よって、$-3 \leq a \leq \frac{7}{3}$

次に、2つ目の2次方程式 $x^2 + (a-4)x - 3 + a^2 = 0$ の判別式 $D_2$ を計算します。

$D_2 = (a-4)^2 - 4(a^2 - 3) = a^2 - 8a + 16 - 4a^2 + 12 = -3a^2 - 8a + 28$

この2次方程式が実数解を持つためには、$D_2 \geq 0$ である必要があります。

$-3a^2 - 8a + 28 \geq 0$

$3a^2 + 8a - 28 \leq 0$

$(3a + 14)(a - 2) \leq 0$

よって、$-\frac{14}{3} \leq a \leq 2$

少なくとも一方が実数解をもつためには、$D_1 \geq 0$ または $D_2 \geq 0$ となれば良いので、それぞれの範囲の和集合を求めます。

$D_1 \geq 0$ の範囲は $-3 \leq a \leq \frac{7}{3}$ です。

$D_2 \geq 0$ の範囲は $-\frac{14}{3} \leq a \leq 2$ です。

数直線で考えると、 $-\frac{14}{3} \approx -4.67$ で $\frac{7}{3} \approx 2.33$ ですから、

$-\frac{14}{3} \leq a \leq \frac{7}{3}$ が答えになります。

3. 最終的な答え

$-\frac{14}{3} \leq a \leq \frac{7}{3}$

サシス = 14

セ = 3

ソ = 7

タ = 3