(1) 等差数列 5, 9, 13,... の第何項から 100 より大きくなるかを求める。 (2) 第 2 項が 43、第 9 項が 22 である等差数列において、初めて負となるのは第何項かを求める。 (3) 直角三角形の 3 辺の長さが等差数列をなすとき、その 3 辺の長さの比を求める。

はい、承知いたしました。等差数列の問題ですね。以下の通り回答します。

1. 問題の内容

(1) 等差数列 5, 9, 13,... の第何項から 100 より大きくなるかを求める。

(2) 第 2 項が 43、第 9 項が 22 である等差数列において、初めて負となるのは第何項かを求める。

(3) 直角三角形の 3 辺の長さが等差数列をなすとき、その 3 辺の長さの比を求める。

2. 解き方の手順

(1) 等差数列 5, 9, 13,... について

* 初項 $a$ は 5、公差 $d$ は $9 - 5 = 4$ である。

* 第 $n$ 項 $a_n$ は $a_n = a + (n - 1)d = 5 + (n - 1)4 = 4n + 1$ で表される。

* $a_n > 100$ となる $n$ を求める。

$4n + 1 > 100$

$4n > 99$

$n > \frac{99}{4} = 24.75$

* $n$ は整数なので、$n \geq 25$

(2) 第 2 項が 43、第 9 項が 22 である等差数列について

* 第 2 項は $a + d = 43$

* 第 9 項は $a + 8d = 22$

* 2つの式から $a$ と $d$ を求める。

$a + 8d - (a + d) = 22 - 43$

$7d = -21$

$d = -3$

$a = 43 - d = 43 - (-3) = 46$

* 第 $n$ 項 $a_n$ は $a_n = a + (n - 1)d = 46 + (n - 1)(-3) = 46 - 3n + 3 = 49 - 3n$ で表される。

* $a_n < 0$ となる $n$ を求める。

$49 - 3n < 0$

$3n > 49$

$n > \frac{49}{3} = 16.333...$

* $n$ は整数なので、$n \geq 17$

(3) 直角三角形の 3 辺の長さが等差数列をなすとき

* 3 辺の長さを $a - d$, $a$, $a + d$ とする。ただし、$a > d > 0$。

* ピタゴラスの定理より、 $(a-d)^2 + a^2 = (a+d)^2$

* $a^2 - 2ad + d^2 + a^2 = a^2 + 2ad + d^2$

* $a^2 - 4ad = 0$

* $a(a - 4d) = 0$

* $a > 0$ より、$a = 4d$

* 3 辺の長さは $a - d = 4d - d = 3d$, $a = 4d$, $a + d = 4d + d = 5d$ となる。

* 3 辺の長さの比は $3d:4d:5d = 3:4:5$

3. 最終的な答え

(1) 第 25 項

(2) 第 17 項

(3) 3:4:5