2次不等式 $-x^2 + 2kx + 2k - 8 \le 0$ がすべての実数 $x$ で成り立つような定数 $k$ の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

2次不等式 $-x^2 + 2kx + 2k - 8 \le 0$ がすべての実数 $x$ で成り立つような定数 $k$ の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式に $-1$ を掛けて、

$x^2 - 2kx - 2k + 8 \ge 0$

とする。

この不等式がすべての実数 $x$ で成り立つためには、左辺の2次関数 $f(x) = x^2 - 2kx - 2k + 8$ のグラフが常に $x$ 軸より上にあるか、または $x$ 軸に接している必要がある。つまり、2次方程式 $x^2 - 2kx - 2k + 8 = 0$ の判別式 $D$ が $D \le 0$ であればよい。

判別式 $D$ は、

$D = (-2k)^2 - 4(1)(-2k + 8) = 4k^2 + 8k - 32$

したがって、$4k^2 + 8k - 32 \le 0$ である必要がある。両辺を4で割ると、

$k^2 + 2k - 8 \le 0$

この不等式を解くために、$k^2 + 2k - 8 = 0$ となる $k$ の値を求める。因数分解すると、

$(k+4)(k-2) = 0$

よって、$k = -4$ または $k = 2$。

$k^2 + 2k - 8 \le 0$ の解は、$-4 \le k \le 2$。

3. 最終的な答え

$-4 \le k \le 2$

クケ = -4

コ = 2