2次不等式 $9x^2 + 30x + 14 < 0$ を解き、解の範囲を $-\frac{ウ - \sqrt{エオ}}{カ} < x < -\frac{ウ + \sqrt{エオ}}{カ}$ の形式で表す。

1. 問題の内容

2次不等式 $9x^2 + 30x + 14 < 0$ を解き、解の範囲を $-\frac{ウ - \sqrt{エオ}}{カ} < x < -\frac{ウ + \sqrt{エオ}}{カ}$ の形式で表す。

2. 解き方の手順

まず、2次方程式 $9x^2 + 30x + 14 = 0$ の解を求める。解の公式を用いると、

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

ここで、$a = 9$, $b = 30$, $c = 14$ なので、

$x = \frac{-30 \pm \sqrt{30^2 - 4 \cdot 9 \cdot 14}}{2 \cdot 9}$

$x = \frac{-30 \pm \sqrt{900 - 504}}{18}$

$x = \frac{-30 \pm \sqrt{396}}{18}$

$\sqrt{396} = \sqrt{36 \cdot 11} = 6\sqrt{11}$ であるから、

$x = \frac{-30 \pm 6\sqrt{11}}{18}$

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{11}}{3}$

したがって、2次不等式 $9x^2 + 30x + 14 < 0$ の解は、

$\frac{-5 - \sqrt{11}}{3} < x < \frac{-5 + \sqrt{11}}{3}$

問題の形式に合わせると、

$-\frac{5 + \sqrt{11}}{3} < x < -\frac{5 - \sqrt{11}}{3}$

となります。

3. 最終的な答え

ウ: 5

エオ: 11

カ: 3