(1) グラフの軸の方程式を求める
与えられた2次関数を平方完成します。
y=−21x2+2ax−a2+4a=−21(x2−4ax)−a2+4a y=−21(x2−4ax+4a2−4a2)−a2+4a=−21(x−2a)2+2a2−a2+4a y=−21(x−2a)2+a2+4a よって、グラフの軸の方程式は x=2a です。 f(x)=−21x2+2ax−a2+4a とおきます。軸は x=2a で、定義域は 0≤x≤1 です。 場合分けをして考えます。
(i) 2a<0 のとき、つまり a<0 のとき、f(x) は x=0 で最大，x=1 で最小となります。 m(a)=f(1)=−21+2a−a2+4a=−a2+6a−21 (ii) 0≤2a≤1 のとき、つまり 0≤a≤21 のとき、f(x) は x=2a で最大，x=0 または x=1 で最小となります。 f(0)=−a2+4a f(1)=−a2+6a−21 f(0)−f(1)=−a2+4a−(−a2+6a−21)=−2a+21 −2a+21≥0 すなわち a≤41 のとき、f(1)≥f(0) であるから m(a)=f(1)=−a2+6a−21 −2a+21<0 すなわち a>41 のとき、f(1)<f(0) であるから m(a)=f(0)=−a2+4a (iii) 2a>1 のとき、つまり a>21 のとき、f(x) は x=1 で最大，x=0 で最小となります。 m(a)=f(0)=−a2+4a 以上をまとめると、
$m(a) =
\begin{cases}
-a^2 + 6a - \frac{1}{2} & (a < 0) \\
-a^2 + 6a - \frac{1}{2} & (0 \le a \le \frac{1}{4}) \\
-a^2 + 4a & (\frac{1}{4} < a \le \frac{1}{2}) \\
-a^2 + 4a & (a > \frac{1}{2})
\end{cases}$
$m(a) =
\begin{cases}
-a^2 + 6a - \frac{1}{2} & (a \le \frac{1}{4}) \\
-a^2 + 4a & (a > \frac{1}{4})
\end{cases}$
m(a)=−a2+6a−21=−(a2−6a)−21=−(a2−6a+9−9)−21=−(a−3)2+9−21=−(a−3)2+217 これは a≤41 の範囲で a=41 の時に最大値をとる。 m(41)=−(41)2+6(41)−21=−161+23−21=−161+1=1615 m(a)=−a2+4a=−(a2−4a)=−(a2−4a+4−4)=−(a−2)2+4 これは a>41 の範囲で a=2 の時に最大値をとる。 m(2)=−4+8=4 よって、m(a) の最大値は 4 であり、その時の a の値は 2 である。 f(x)=−21x2+2ax−a2+4a の定義域は 0≤x≤1 である。 軸は x=2a であり、上に凸のグラフである。 (i) 2a≤21 つまり a≤41 のとき、x=1 で最大値をとる。 M(a)=f(1)=−21+2a−a2+4a=−a2+6a−21 (ii) 2a≥21 つまり a≥41 のとき、x=0 で最大値をとる。 M(a)=f(0)=−a2+4a (i) a≤41 のとき、−a2+6a−21=2 −a2+6a−25=0 2a2−12a+5=0 a=412±144−40=412±104=412±226=3±226 a=3−226 は a≤41 を満たす。 (ii) a≥41 のとき、−a2+4a=2 −a2+4a−2=0 a2−4a+2=0 a=24±16−8=24±8=2±2 a=2+2 と a=2−2 は a≥41 を満たす。 よって、M(a)=2 となる a の値は、a=3−226,2±2 である。 