与えられた置換 $\sigma$ と $\tau$ について、以下の問いに答えます。 (a) $\sigma$ と $\tau$ をそれぞれ $ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ * & * & * & * & * & * \end{pmatrix} $ の形式で表します。 (b) $\sigma$ と $\tau$ の逆置換をそれぞれ $ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ * & * & * & * & * & * \end{pmatrix} $ の形式で表します。 (c) 置換の積 $\sigma \circ \tau$ と $\tau \circ \sigma$ をそれぞれ $ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ * & * & * & * & * & * \end{pmatrix} $ の形式で表します。

1. 問題の内容

与えられた置換 $\sigma$ と $\tau$ について、以下の問いに答えます。

(a) $\sigma$ と $\tau$ をそれぞれ $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ * & * & * & * & * & * \end{pmatrix}$ の形式で表します。

(b) $\sigma$ と $\tau$ の逆置換をそれぞれ $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ * & * & * & * & * & * \end{pmatrix}$ の形式で表します。

(c) 置換の積 $\sigma \circ \tau$ と $\tau \circ \sigma$ をそれぞれ $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ * & * & * & * & * & * \end{pmatrix}$ の形式で表します。

2. 解き方の手順

(a) 置換 $\sigma$ と $\tau$ を計算します。

$\sigma = (1, 2) \circ (4, 5) \circ (2, 6) \circ (6, 4) \circ (3, 6) \circ (5, 1)$

まず、右から順に適用していきます。

1 -> 5, 5 -> 4, 4 -> 6, 6 -> 2, 2 -> 1, 3 -> 6, 4 -> 5, 5 ->4, 6 -> 3

よって

$\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 5 & 1 & 6 & 4 & 2 & 3 \end{pmatrix}$

$\tau = (1, 4) \circ (3, 5) \circ (2, 6) \circ (1, 2) \circ (2, 6)$

1 -> 2, 2 -> 6, 3 -> 5, 4 -> 1, 5 -> 3, 6 -> 2

1 -> 4, 2 -> 6, 3 -> 5, 4 -> 1, 5 -> 3, 6 -> 2

よって

$\tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 4 & 6 & 5 & 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}$

(b) 逆置換 $\sigma^{-1}$ と $\tau^{-1}$ を計算します。

$\sigma^{-1}$ は $\sigma$ の行を入れ替えて、上段が昇順になるように並び替えます。

$\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 5 & 1 & 6 & 4 & 2 & 3 \end{pmatrix}$

$\sigma^{-1} = \begin{pmatrix} 5 & 1 & 6 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 5 & 6 & 4 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

$\tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 4 & 6 & 5 & 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}$

$\tau^{-1} = \begin{pmatrix} 4 & 6 & 5 & 1 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 4 & 6 & 5 & 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 4 & 6 & 5 & 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 4 & 6 & 5 & 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}$

$\tau^{-1} = \begin{pmatrix} 4 & 6 & 5 & 1 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 4 & 6 & 5 & 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}^{-1}= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 4 & 6 & 5 & 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 4 & 6 & 5 & 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}^{-1}$

$\tau^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 4 & 6 & 5 & 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}^{-1}$

$\tau = (1, 4)(3, 5)(2, 6)(1, 2)(2, 6) = (1,4)(3,5)(1,2)$

$\tau^{-1} = (2, 1)(5, 3)(4, 1) = (1,4)(3,5)(1,2) = \tau$

$\tau^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 4 & 1 & 5 & 2 & 3 & 6 \end{pmatrix}$

$\tau^{-1} = \begin{pmatrix} 4 & 6 & 5 & 1 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 4 & 1 & 5 & 2 & 3 & 6 \end{pmatrix}$

(c) $\sigma \circ \tau$ と $\tau \circ \sigma$ を計算します。

$\sigma \circ \tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 5 & 1 & 6 & 4 & 2 & 3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 4 & 6 & 5 & 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}$

1 -> 4 -> 4, 2 -> 6 -> 3, 3 -> 5 -> 2, 4 -> 1 -> 5, 5 -> 3 -> 6, 6 -> 2 -> 1

$\sigma \circ \tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 4 & 3 & 2 & 5 & 6 & 1 \end{pmatrix}$

$\tau \circ \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 4 & 6 & 5 & 1 & 3 & 2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 5 & 1 & 6 & 4 & 2 & 3 \end{pmatrix}$

1 -> 5 -> 3, 2 -> 1 -> 4, 3 -> 6 -> 2, 4 -> 4 -> 1, 5 -> 2 -> 6, 6 -> 3 -> 5

$\tau \circ \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 3 & 4 & 2 & 1 & 6 & 5 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(a) $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 5 & 1 & 6 & 4 & 2 & 3 \end{pmatrix}$, $\tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 4 & 6 & 5 & 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}$

(b) $\sigma^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 5 & 6 & 4 & 1 & 3 \end{pmatrix}$, $\tau^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 4 & 6 & 5 & 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}$

(c) $\sigma \circ \tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 4 & 3 & 2 & 5 & 6 & 1 \end{pmatrix}$, $\tau \circ \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 3 & 4 & 2 & 1 & 6 & 5 \end{pmatrix}$