置換 $\sigma$ と $\tau$ が互換の積で与えられている。 $\sigma = (1, 2) \circ (4, 5) \circ (2, 6) \circ (6, 4) \circ (3, 6) \circ (5, 1)$ $\tau = (1, 4) \circ (3, 5) \circ (2, 6) \circ (1, 2) \circ (2, 6)$ (a) $\sigma$ と $\tau$ をそれぞれ $(1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6)$ の形式で表せ。 (b) $\sigma$ と $\tau$ の逆置換をそれぞれ $(1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6)$ の形式で表せ。 (c) 置換の積 $\sigma \circ \tau$ と $\tau \circ \sigma$ をそれぞれ $(1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6)$ の形式で表せ。

1. 問題の内容

置換 $\sigma$ と $\tau$ が互換の積で与えられている。

$\sigma = (1, 2) \circ (4, 5) \circ (2, 6) \circ (6, 4) \circ (3, 6) \circ (5, 1)$

$\tau = (1, 4) \circ (3, 5) \circ (2, 6) \circ (1, 2) \circ (2, 6)$

(a) $\sigma$ と $\tau$ をそれぞれ $(1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6)$ の形式で表せ。

(b) $\sigma$ と $\tau$ の逆置換をそれぞれ $(1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6)$ の形式で表せ。

(c) 置換の積 $\sigma \circ \tau$ と $\tau \circ \sigma$ をそれぞれ $(1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6)$ の形式で表せ。

2. 解き方の手順

(a) $\sigma$ と $\tau$ を $(1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6)$ の形式で表す。

$\sigma$:

1 -> 2 -> 1 -> 1 -> 1 -> 5

2 -> 2 -> 6 -> 6 -> 6 -> 6

3 -> 3 -> 3 -> 3 -> 6 -> 4

4 -> 4 -> 5 -> 4 -> 4 -> 4

5 -> 5 -> 4 -> 5 -> 5 -> 1

6 -> 6 -> 2 -> 2 -> 3 -> 3

したがって、$\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 5 & 6 & 4 & 4 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ となる。

しかし、4が2つあるのでこれは間違い。

右から順に計算する。

$\sigma$:

1 -> 5 -> 1 -> 2 -> 6 -> 4

2 -> 2 -> 6 -> 2 -> 1 -> 2

3 -> 6 -> 3 -> 3 -> 3 -> 3

4 -> 4 -> 4 -> 5 -> 5 -> 5

5 -> 1 -> 5 -> 4 -> 4 -> 4

6 -> 3 -> 6 -> 6 -> 2 -> 6

したがって、$\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 4 & 2 & 3 & 5 & 4 & 6 \end{pmatrix}$ となる。

しかし、4が2つあるのでこれも間違い。

$\sigma = (1, 2) \circ (4, 5) \circ (2, 6) \circ (6, 4) \circ (3, 6) \circ (5, 1)$

$\sigma = (1, 2) (4, 5) (2, 6) (6, 4) (3, 6) (5, 1)$

$\sigma = (1\ 5\ 4\ 6\ 2\ 3)$

したがって、$\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 5 & 6 & 4 & 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

$\tau = (1, 4) \circ (3, 5) \circ (2, 6) \circ (1, 2) \circ (2, 6)$

$\tau = (1, 4) (3, 5) (2, 6) (1, 2) (2, 6)$

$\tau = (1, 4) (3, 5) (1, 2)$

$\tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 6 & 5 & 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}$

しかし、2が2つあるのでこれは間違い。

右から順に計算する。

$\tau$:

1 -> 2 -> 2 -> 2 -> 4

2 -> 6 -> 6 -> 1 -> 1

3 -> 3 -> 5 -> 5 -> 5

4 -> 4 -> 4 -> 4 -> 1

5 -> 5 -> 3 -> 3 -> 3

6 -> 2 -> 2 -> 6 -> 6

したがって、$\tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 4 & 1 & 5 & 1 & 3 & 6 \end{pmatrix}$ となる。

しかし、1が2つあるのでこれも間違い。

$\tau = (1, 4) \circ (3, 5) \circ (2, 6) \circ (1, 2) \circ (2, 6)$

$\tau = (1, 4) (3, 5) (2, 6) (1, 2) (2, 6)$

$\tau = (1, 4) (3, 5) (1, 2)$

$\tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 1 & 5 & 4 & 3 & 6 \end{pmatrix}$

これは (1 2) (3 5) なので間違い。

$\tau = (2, 6) \circ (1, 2) \circ (2, 6) \circ (3, 5) \circ (1, 4)$

$\tau = (2, 6) (1, 2) (2, 6) (3, 5) (1, 4)$

$\tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 4 & 6 & 5 & 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

$\tau = (1\ 4\ 2\ 6) (3\ 5)$

(b) $\sigma$ と $\tau$ の逆置換を求める。

$\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 5 & 6 & 4 & 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

$\sigma^{-1} = \begin{pmatrix} 5 & 6 & 4 & 3 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 5 & 6 & 4 & 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

$\tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 4 & 6 & 5 & 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

$\tau^{-1} = \begin{pmatrix} 4 & 6 & 5 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 6 & 4 & 5 & 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}$

(c) $\sigma \circ \tau$ と $\tau \circ \sigma$ を求める。

$\sigma \circ \tau$:

1 -> 4 -> 3

2 -> 6 -> 2

3 -> 5 -> 1

4 -> 2 -> 6

5 -> 3 -> 4

6 -> 1 -> 5

したがって、$\sigma \circ \tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 3 & 2 & 1 & 6 & 4 & 5 \end{pmatrix}$

$\tau \circ \sigma$:

1 -> 5 -> 3

2 -> 6 -> 1

3 -> 4 -> 2

4 -> 3 -> 5

5 -> 1 -> 4

6 -> 2 -> 6

したがって、$\tau \circ \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & 2 & 5 & 4 & 6 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(a) $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 5 & 6 & 4 & 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$, $\tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 4 & 6 & 5 & 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

(b) $\sigma^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 5 & 6 & 4 & 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$, $\tau^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 6 & 4 & 5 & 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}$

(c) $\sigma \circ \tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 3 & 2 & 1 & 6 & 4 & 5 \end{pmatrix}$, $\tau \circ \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & 2 & 5 & 4 & 6 \end{pmatrix}$