不等式 $\sqrt{2x+1} \le \frac{1}{2}x + 1$ を解きます。

1. 問題の内容

不等式 $\sqrt{2x+1} \le \frac{1}{2}x + 1$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、根号の中身が0以上である必要があります。

$2x + 1 \ge 0$

$x \ge -\frac{1}{2}$

次に、両辺が0以上であることを確認します。$\sqrt{2x+1}$ は常に0以上です。

$\frac{1}{2}x + 1 \ge 0$

$\frac{1}{2}x \ge -1$

$x \ge -2$

$x \ge -\frac{1}{2}$と$x \ge -2$ より、$x \ge -\frac{1}{2}$ である必要があります。

両辺を2乗します。

$(\sqrt{2x+1})^2 \le (\frac{1}{2}x + 1)^2$

$2x+1 \le \frac{1}{4}x^2 + x + 1$

両辺に4をかけて整理します。

$8x+4 \le x^2 + 4x + 4$

$0 \le x^2 - 4x$

$x^2 - 4x \ge 0$

$x(x-4) \ge 0$

したがって、$x \le 0$ または $x \ge 4$ です。

$x \ge -\frac{1}{2}$ という条件と、$x \le 0$ または $x \ge 4$ という条件を合わせると、

$-\frac{1}{2} \le x \le 0$ または $x \ge 4$ となります。

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{2} \le x \le 0$ または $x \ge 4$