$x$ についての2つの不等式 $2x^2 - 3x - 5 > 0$ と $x^2 - (a+2)x + 2a < 0$ を同時に満たす整数 $x$ がただ1つ存在するとき、定数 $a$ の値の範囲と、そのときの整数 $x$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$x$ についての2つの不等式 $2x^2 - 3x - 5 > 0$ と $x^2 - (a+2)x + 2a < 0$ を同時に満たす整数 $x$ がただ1つ存在するとき、定数 $a$ の値の範囲と、そのときの整数 $x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、不等式 $2x^2 - 3x - 5 > 0$ を解きます。

$2x^2 - 3x - 5 = (2x - 5)(x + 1) > 0$

よって、$x < -1$ または $x > \frac{5}{2} = 2.5$。

次に、不等式 $x^2 - (a+2)x + 2a < 0$ を解きます。

$x^2 - (a+2)x + 2a = (x-a)(x-2) < 0$

この不等式の解は、$a < 2$ のとき $a < x < 2$, $a > 2$ のとき $2 < x < a$, $a=2$のとき解なし。

上記の２つの不等式を同時に満たす整数 $x$ がただ1つ存在する場合を考えます。

(i) $a < 2$ のとき、$a < x < 2$ と $x < -1$ または $x > 2.5$ を同時に満たす整数 $x$ がただ一つである必要があります。

$x < -1$ を満たす整数がないので、$a < x < 2$ と $x > 2.5$ を満たす整数は存在しません。

(ii) $a > 2$ のとき、$2 < x < a$ と $x < -1$ または $x > 2.5$ を同時に満たす整数 $x$ がただ一つである必要があります。

$x < -1$ を満たす整数がないので、$2 < x < a$ と $x > 2.5$ を同時に満たす整数 $x$ がただ一つである必要があります。

$2 < x < a$ と $x > 2.5$ を満たす整数 $x$ は 3 である必要があり、$3 < a \leq 4$ の範囲に $a$ が存在すれば良い。

このとき、$x = 3$ である。

$a = 4$ のとき、$2 < x < 4$を満たす $x$ は $3$ であり、$x=3$は$2x^2 - 3x - 5 > 0$を満たします。

$3 < a$ であれば、$x = 3$のみ。

$3 < a \le 4$

もし $a = 4$ のとき、$2 < x < 4$ を満たす整数は3のみであり、これは条件を満たします。

もし $a > 4$ となると、$2 < x < a$ を満たす整数は3, 4,...となってしまうので、条件に反します。

3. 最終的な答え

$3 < a \le 4$ のとき $x=3$

$a = 4$ のとき、$x = 3$

よって、$3 < a \le 4$ で $x=3$。

$a$ の値の範囲：$3 < a \le 4$

そのときの整数 $x$ の値：$3$