2次関数 $y=ax^2+bx+c$ のグラフが点 $(0,0)$ と $(1,0)$ で $x$ 軸と交わっているとき、$a$, $c$, $a+2b+4c$ がそれぞれ正、負、または0のどれであるかを答える問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y=ax^2+bx+c$ のグラフが点 $(0,0)$ と $(1,0)$ で $x$ 軸と交わっているとき、$a$, $c$, $a+2b+4c$ がそれぞれ正、負、または0のどれであるかを答える問題です。

2. 解き方の手順

(1) $a$ の符号について：

グラフは上に凸であるため、$a<0$ です。

(2) $c$ の値について：

グラフは点 $(0,0)$ を通るので、$x=0$ を $y=ax^2+bx+c$ に代入すると、$y=a(0)^2+b(0)+c=c$ となり、$y=0$ となるので、$c=0$ です。

(3) $a+2b+4c$ の符号について：

グラフが $(0,0)$ と $(1,0)$ を通ることから、$y=ax^2+bx+c$ は $y=ax(x-1)$ と表せます。よって、$c=0$ であり、$b=-a$ となります。

したがって、$a+2b+4c = a+2(-a)+4(0) = a-2a = -a$ となります。

(1)で求めた通り、$a<0$ であるので、$-a>0$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $a < 0$

(2) $c = 0$

(3) $a+2b+4c > 0$