(1) 公比2の等比数列の第3項の値と、初項から第8項までの数列の和を求める。 (2) 数列 0, 1, 3, 6, 10, 15,... の次の項を求める。 (3) 初項1、公比1/3の等比数列の無限和を求める。 (4) 漸化式 $a_1 = 0, a_{n+1} = 2a_n + 2$ (n = 1, 2, ...) の一般項 $a_n$ を求める。

1. 問題の内容

(1) 公比2の等比数列の第3項の値と、初項から第8項までの数列の和を求める。

(2) 数列 0, 1, 3, 6, 10, 15,... の次の項を求める。

(3) 初項1、公比1/3の等比数列の無限和を求める。

(4) 漸化式 $a_1 = 0, a_{n+1} = 2a_n + 2$ (n = 1, 2, ...) の一般項 $a_n$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 公比2の等比数列について：

- 第3項： 初項を $a$ とすると、第3項は $ar^2$ であり、公比 $r = 2$ なので、$4a$ となる。問題文から初項は与えられていませんが、数列を定めるには初項が必要なので、初項を1と仮定すると、第3項は $1 \times 2^2 = 4$ となる。

- 初項から第8項までの和： 等比数列の和の公式 $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ を用いる。初項1、公比2、n=8なので、$S_8 = \frac{1(2^8 - 1)}{2 - 1} = 2^8 - 1 = 256 - 1 = 255$。

(2) 数列 0, 1, 3, 6, 10, 15,... について：

- 階差数列を考える。階差は 1, 2, 3, 4, 5,... となっている。これは初項1、公差1の等差数列である。したがって、次の階差は6となる。よって、次の項は 15 + 6 = 21。

(3) 初項1、公比1/3の等比数列の無限和について：

- 無限等比級数の和の公式 $S = \frac{a}{1 - r}$ を用いる。初項 $a = 1$、公比 $r = \frac{1}{3}$ なので、$S = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}$。

(4) 漸化式 $a_{n+1} = 2a_n + 2, a_1 = 0$ の一般項を求める：

- 特性方程式 $x = 2x + 2$ を解くと、$x = -2$。

- したがって、$a_{n+1} + 2 = 2(a_n + 2)$。

- 数列 $\{a_n + 2\}$ は、初項 $a_1 + 2 = 0 + 2 = 2$、公比2の等比数列である。

- よって、$a_n + 2 = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n$。

- したがって、$a_n = 2^n - 2$。

3. 最終的な答え

(ア) 4

(イ)(ウ)(エ) 255

(オ)(カ) 21

(キ) 3/2

(ク)$2^n$

(ケ) 2