すべての自然数 $n$ に対して、以下の等式が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明します。 $0 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \cdots + n(n+1) = \frac{1}{3}n(n+1)(n+2)$

1. 問題の内容

すべての自然数 $n$ に対して、以下の等式が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明します。

$0 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \cdots + n(n+1) = \frac{1}{3}n(n+1)(n+2)$

2. 解き方の手順

数学的帰納法を用いて証明します。

(1) $n=1$ のとき

左辺: $0 \cdot 1 + 1 \cdot 2 = 0 + 2 = 2$

右辺: $\frac{1}{3} \cdot 1 \cdot (1+1) \cdot (1+2) = \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 = 2$

よって、$n=1$ のとき、等式は成り立ちます。

(2) $n=k$ のとき、等式が成り立つと仮定します。つまり、

$0 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \cdots + k(k+1) = \frac{1}{3}k(k+1)(k+2)$

が成り立つと仮定します。

(3) $n=k+1$ のとき、等式が成り立つことを示します。

$n=k+1$ のときの左辺は、

$0 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \cdots + k(k+1) + (k+1)(k+2)$

です。$n=k$ のときの仮定を用いると、

$0 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \cdots + k(k+1) + (k+1)(k+2) = \frac{1}{3}k(k+1)(k+2) + (k+1)(k+2)$

$= \frac{1}{3}k(k+1)(k+2) + \frac{3}{3}(k+1)(k+2) = \frac{1}{3}(k+1)(k+2)(k+3)$

$n=k+1$ のときの右辺は、

$\frac{1}{3}(k+1)(k+1+1)(k+1+2) = \frac{1}{3}(k+1)(k+2)(k+3)$

したがって、$n=k+1$ のときも等式は成り立ちます。

(1)(2)(3)より、すべての自然数 $n$ に対して、等式は成り立ちます。

3. 最終的な答え

すべての自然数 $n$ に対して、$0 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \cdots + n(n+1) = \frac{1}{3}n(n+1)(n+2)$ が成り立つ。