数列$\{a_n\}$が、$a_1 = 1$, $a_2 = \frac{7}{3}$, および漸化式 $3a_{n+2} - 4a_{n+1} + a_n = 0$ によって定義されるとき、$\lim_{n\to\infty} a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$が、$a_1 = 1$, $a_2 = \frac{7}{3}$, および漸化式 $3a_{n+2} - 4a_{n+1} + a_n = 0$ によって定義されるとき、$\lim_{n\to\infty} a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 漸化式を変形する。

与えられた漸化式 $3a_{n+2} - 4a_{n+1} + a_n = 0$ を変形して、$a_{n+2} = \frac{4}{3} a_{n+1} - \frac{1}{3} a_n$ を得る。

(2) 特性方程式を解く。

特性方程式を $3x^2 - 4x + 1 = 0$ とおく。この方程式を解くと、

$(3x - 1)(x - 1) = 0$ より $x = 1, \frac{1}{3}$ となる。

(3) 数列の一般項を求める。

したがって、数列$\{a_n\}$の一般項は、$a_n = c_1(1)^n + c_2(\frac{1}{3})^n = c_1 + c_2(\frac{1}{3})^n$ と表せる。

(4) 初期条件から定数を決定する。

$a_1 = 1$ と $a_2 = \frac{7}{3}$ を代入して、$c_1$ と $c_2$ を求める。

$a_1 = c_1 + \frac{1}{3}c_2 = 1$

$a_2 = c_1 + \frac{1}{9}c_2 = \frac{7}{3}$

上の2式から、$c_2$を消去するために、最初の式を3倍して2番目の式を引くと、

$3c_1 + c_2 = 3$

$c_1 + \frac{1}{9}c_2 = \frac{7}{3}$

上の式を9倍すると$9c_1 + c_2 = 21$

$9c_1 - 3c_1 = 21-9$より$6c_1 = 12$、つまり$c_1 = 2$

$c_2 = 3-3c_1 = 3-6 = -3$

よって、$a_n = 2 - 3 (\frac{1}{3})^n$ となる。

(5) 極限を計算する。

$\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \left(2 - 3\left(\frac{1}{3}\right)^n\right) = 2 - 3 \lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^n = 2 - 3(0) = 2$

3. 最終的な答え

$\lim_{n\to\infty} a_n = 2$