数列 $\{a_n\}$ は、$a_1 = 1$, $a_2 = \frac{7}{3}$, および漸化式 $3a_{n+2} - 4a_{n+1} + a_n = 0$ で定義されています。この数列の極限 $\lim_{n \to \infty} a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ は、$a_1 = 1$, $a_2 = \frac{7}{3}$, および漸化式 $3a_{n+2} - 4a_{n+1} + a_n = 0$ で定義されています。この数列の極限 $\lim_{n \to \infty} a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた漸化式を解きます。漸化式を特性方程式を用いて解くために、$a_{n+2} = x^2$, $a_{n+1} = x$, $a_n = 1$ とおき、特性方程式を立てます。

$3x^2 - 4x + 1 = 0$

この二次方程式を解きます。

$(3x - 1)(x - 1) = 0$

したがって、$x = 1$ または $x = \frac{1}{3}$ となります。

よって、数列 $\{a_n\}$ の一般項は、定数 $A$ と $B$ を用いて

$a_n = A(1)^n + B(\frac{1}{3})^n = A + B(\frac{1}{3})^n$

と表されます。

初期条件 $a_1 = 1$ と $a_2 = \frac{7}{3}$ を用いて $A$ と $B$ を決定します。

$a_1 = A + B(\frac{1}{3})^1 = A + \frac{1}{3}B = 1$

$a_2 = A + B(\frac{1}{3})^2 = A + \frac{1}{9}B = \frac{7}{3}$

この連立方程式を解きます。

$A + \frac{1}{3}B = 1$ より $3A + B = 3$

$A + \frac{1}{9}B = \frac{7}{3}$ より $9A + B = 21$

下の式から上の式を引くと

$6A = 18$

$A = 3$

$3A + B = 3$ より $9 + B = 3$

$B = -6$

したがって、$a_n = 3 - 6(\frac{1}{3})^n$ となります。

次に、$\lim_{n \to \infty} a_n$ を求めます。

$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} (3 - 6(\frac{1}{3})^n) = 3 - 6 \lim_{n \to \infty} (\frac{1}{3})^n$

$\lim_{n \to \infty} (\frac{1}{3})^n = 0$ であるから

$\lim_{n \to \infty} a_n = 3 - 6(0) = 3$

3. 最終的な答え

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