数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 1$, $a_2 = \frac{7}{3}$, および漸化式 $3a_{n+2} - 4a_{n+1} + a_n = 0$ によって定義される。この数列の一般項を求めたい。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 1$, $a_2 = \frac{7}{3}$, および漸化式 $3a_{n+2} - 4a_{n+1} + a_n = 0$ によって定義される。この数列の一般項を求めたい。

2. 解き方の手順

まず、与えられた漸化式を変形する。

$3a_{n+2} - 4a_{n+1} + a_n = 0$

$3a_{n+2} = 4a_{n+1} - a_n$

$a_{n+2} = \frac{4}{3}a_{n+1} - \frac{1}{3}a_n$

この漸化式の特性方程式を考える。特性方程式は

$x^2 = \frac{4}{3}x - \frac{1}{3}$

$3x^2 - 4x + 1 = 0$

$(3x - 1)(x - 1) = 0$

よって、$x = 1, \frac{1}{3}$ が解となる。

したがって、数列 $\{a_n\}$ の一般項は、$a_n = A(1)^n + B(\frac{1}{3})^n = A + B(\frac{1}{3})^n$ と表せる。

初期条件 $a_1 = 1$ と $a_2 = \frac{7}{3}$ を用いて、$A$ と $B$ の値を求める。

$a_1 = A + \frac{1}{3}B = 1$ (1)

$a_2 = A + \frac{1}{9}B = \frac{7}{3}$ (2)

(2) - (1) より、

$-\frac{2}{9}B = \frac{4}{3}$

$B = -6$

(1) に $B = -6$ を代入して、

$A + \frac{1}{3}(-6) = 1$

$A - 2 = 1$

$A = 3$

したがって、一般項は $a_n = 3 - 6(\frac{1}{3})^n = 3 - \frac{6}{3^n} = 3 - \frac{2}{3^{n-1}}$ となる。

3. 最終的な答え

$a_n = 3 - \frac{2}{3^{n-1}}$