与えられた3つの2次関数について、定義域 $a \le x \le a+2$ における最大値と最小値を求め、そのときの $x$ の値を求める問題です。 (1) $y=x^2$ (2) $y=x^2 - 6x + 5$ (3) $y=-x^2 + 2x + 3$

## 数学の問題の解答

1. 問題の内容

与えられた3つの2次関数について、定義域 $a \le x \le a+2$ における最大値と最小値を求め、そのときの $x$ の値を求める問題です。

(1) $y=x^2$

(2) $y=x^2 - 6x + 5$

(3) $y=-x^2 + 2x + 3$

2. 解き方の手順

それぞれの関数について、以下の手順で解きます。

* **平方完成**: 関数を平方完成し、頂点の座標を求めます。

* **グラフの概形**: グラフの概形を把握します（上に凸か下に凸か）。

* **定義域との比較**: 定義域 $a \le x \le a+2$ と頂点の $x$ 座標の位置関係を考慮し、最大値と最小値を与える $x$ の値を決定します。場合分けが必要になることがあります。

* **最大値・最小値の計算**: 決定した $x$ の値を関数に代入し、最大値・最小値を計算します。

**(1) $y=x^2$**

* 平方完成: $y=x^2$ (すでに平方完成されています。頂点は $(0,0)$)

* グラフ: 下に凸

* 定義域との比較:

* 場合1: $a+2 \le 0$ ($a \le -2$) のとき、定義域は $0$ より小さい範囲なので、$x=a$ で最小値、 $x=a+2$ で最大値をとります。

* 場合2: $a < 0 < a+2$ ($-2 < a < 0$) のとき、定義域は $x=0$ を含むので、$x=0$で最小値、$x=a$または$x=a+2$のうち絶対値が大きい方で最大値をとります。$|a|$と$|a+2|$の大小関係でさらに場合分けが生じます。

* $a < -1$のとき $|a|>|a+2|$なので$x=a$で最大値

* $a \ge -1$のとき $|a| \le |a+2|$なので$x=a+2$で最大値

* 場合3: $a \ge 0$ のとき、定義域は $0$ より大きい範囲なので、$x=a$ で最小値、 $x=a+2$ で最大値をとります。

* 最大値・最小値の計算:

* $a \le -2$ のとき: 最小値 $y=a^2$ (at $x=a$)、最大値 $y=(a+2)^2$ (at $x=a+2$)

* $-2 < a < -1$ のとき: 最小値 $y=0$ (at $x=0$)、最大値 $y=a^2$ (at $x=a$)

* $-1 \le a < 0$ のとき: 最小値 $y=0$ (at $x=0$)、最大値 $y=(a+2)^2$ (at $x=a+2$)

* $a \ge 0$ のとき: 最小値 $y=a^2$ (at $x=a$)、最大値 $y=(a+2)^2$ (at $x=a+2$)

**(2) $y=x^2 - 6x + 5$**

* 平方完成: $y=(x-3)^2 - 4$ (頂点は $(3,-4)$)

* グラフ: 下に凸

* 定義域との比較:

* 場合1: $a+2 \le 3$ ($a \le 1$) のとき: $x=a+2$ で最小値、$x=a$で最大値。

* 場合2: $a < 3 < a+2$ ($1 < a < 3$) のとき: $x=3$で最小値、$x=a$または$x=a+2$のうち頂点から遠い方で最大値。$|a-3|$と$|a+2-3|$の大小関係で場合分け。

* $a < 2$のとき、$|a-3|>|a-1|$なので$x=a$で最大値

* $a \ge 2$のとき、$|a-3| \le |a-1|$なので$x=a+2$で最大値

* 場合3: $a \ge 3$ のとき: $x=a$ で最小値、$x=a+2$で最大値。

* 最大値・最小値の計算:

* $a \le 1$ のとき: 最小値 $y=(a+2-3)^2 - 4 = (a-1)^2 - 4$ (at $x=a+2$)、最大値 $y=(a-3)^2 - 4$ (at $x=a$)

* $1 < a < 2$ のとき: 最小値 $y=-4$ (at $x=3$)、最大値 $y=(a-3)^2-4$ (at $x=a$)

* $2 \le a < 3$ のとき: 最小値 $y=-4$ (at $x=3$)、最大値 $y=(a+2-3)^2 - 4 = (a-1)^2 - 4$ (at $x=a+2$)

* $a \ge 3$ のとき: 最小値 $y=(a-3)^2 - 4$ (at $x=a$)、最大値 $y=(a+2-3)^2 - 4 = (a-1)^2 - 4$ (at $x=a+2$)

**(3) $y=-x^2 + 2x + 3$**

* 平方完成: $y=-(x-1)^2 + 4$ (頂点は $(1,4)$)

* グラフ: 上に凸

* 定義域との比較:

* 場合1: $a+2 \le 1$ ($a \le -1$) のとき: $x=a$で最小値、$x=a+2$で最大値

* 場合2: $a < 1 < a+2$ ($-1 < a < 1$) のとき: $x=1$で最大値、$x=a$または$x=a+2$のうち頂点から遠い方で最小値。$|a-1|$と$|a+2-1|$の大小関係で場合分け。

* $a < 0$のとき、$|a-1|>|a+1|$なので$x=a$で最小値

* $a \ge 0$のとき、$|a-1| \le |a+1|$なので$x=a+2$で最小値

* 場合3: $a \ge 1$ のとき: $x=a+2$で最小値、$x=a$で最大値

* 最大値・最小値の計算:

* $a \le -1$ のとき: 最小値 $y=-(a-1)^2 + 4$ (at $x=a$)、最大値 $y=-(a+2-1)^2 + 4 = -(a+1)^2 + 4$ (at $x=a+2$)

* $-1 < a < 0$ のとき: 最大値 $y=4$ (at $x=1$)、最小値 $y=-(a-1)^2+4$ (at $x=a$)

* $0 \le a < 1$ のとき: 最大値 $y=4$ (at $x=1$)、最小値 $y=-(a+2-1)^2+4 = -(a+1)^2+4$ (at $x=a+2$)

* $a \ge 1$ のとき: 最小値 $y=-(a+2-1)^2 + 4 = -(a+1)^2 + 4$ (at $x=a+2$)、最大値 $y=-(a-1)^2 + 4$ (at $x=a$)

3. 最終的な答え

上記に各関数における、定義域 $a \le x \le a+2$ での最大値と最小値、およびその時の $x$ の値を場合分けして記述しました。