与えられた数列に関する問題で、(ア)から(ケ)に当てはまる数値を答える問題です。 (1) 公比2の等比数列の第3項と、初項から第8項までの和を求めます。 (2) 数列 $0, 1, 3, 6, 10, 15, \dots$ の次の項を求めます。 (3) 初項1、公比$\frac{1}{3}$の等比数列の総和を求めます。 (4) 漸化式 $a_1=0, a_{n+1}=2a_n+2 (n=1,2,\dots)$ の一般項 $a_n$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた数列に関する問題で、(ア)から(ケ)に当てはまる数値を答える問題です。

(1) 公比2の等比数列の第3項と、初項から第8項までの和を求めます。

(2) 数列 $0, 1, 3, 6, 10, 15, \dots$ の次の項を求めます。

(3) 初項1、公比$\frac{1}{3}$の等比数列の総和を求めます。

(4) 漸化式 $a_1=0, a_{n+1}=2a_n+2 (n=1,2,\dots)$ の一般項 $a_n$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 公比2の等比数列の初項を$a$とすると、第$n$項は$ar^{n-1}$で表されます。

第3項は、$a \cdot 2^{3-1} = 4a$ となります。初項から第8項までの和は、$S_8 = \frac{a(2^8-1)}{2-1} = a(2^8-1) = 255a$ となります。

問題文に「2」とあるので、これは初項とみなして、$a=2$とします。

よって、第3項の値は $4a = 4 \cdot 2 = 8$ となり、初項から第8項までの和は $255a = 255 \cdot 2 = 510$ となります。

(ア) = 8, (イ)(ウ)(エ) = 510

(2) 数列 $0, 1, 3, 6, 10, 15, \dots$ の階差数列は $1, 2, 3, 4, 5, \dots$ となります。

これは等差数列なので、次の階差は6となります。したがって、次の項は $15 + 6 = 21$ となります。

(オ)(カ) = 21

(3) 初項1、公比$\frac{1}{3}$の等比数列の総和は、

$S = \sum_{i=1}^\infty 1 \cdot (\frac{1}{3})^{i-1} = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}$

(キ) = $\frac{3}{2}$

(4) 漸化式 $a_{n+1} = 2a_n + 2$ を解きます。

特性方程式は $\alpha = 2\alpha + 2$ より、$\alpha = -2$

$a_{n+1} + 2 = 2(a_n + 2)$

$b_n = a_n + 2$ とおくと、$b_{n+1} = 2b_n$, $b_1 = a_1 + 2 = 0 + 2 = 2$

よって、$b_n = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n$

$a_n = b_n - 2 = 2^n - 2$

(ク) = $2^n$, (ケ) = $2$

3. 最終的な答え

(ア) = 8

(イ)(ウ)(エ) = 510

(オ)(カ) = 21

(キ) = $\frac{3}{2}$

(ク) = $2^n$

(ケ) = 2