与えられた指数方程式 $4^x - 4^{\log_2{\sqrt{3}}} \cdot 2^x - 4 = 0$ の解を求める問題です。$2^x = X$ とおき、二次方程式に変形し、因数分解を行い、条件を満たす解を求めます。

1. 問題の内容

与えられた指数方程式 $4^x - 4^{\log_2{\sqrt{3}}} \cdot 2^x - 4 = 0$ の解を求める問題です。$2^x = X$ とおき、二次方程式に変形し、因数分解を行い、条件を満たす解を求めます。

2. 解き方の手順

(ア) $4^x - 4^{\log_2{\sqrt{3}}} \cdot 2^x - 4 = 0$ において、$2^x = X$ とおくと、$4^x = (2^x)^2 = X^2$ となります。

ここで、$4^{\log_2{\sqrt{3}}} = (2^2)^{\log_2{\sqrt{3}}} = 2^{2\log_2{\sqrt{3}}} = 2^{\log_2{(\sqrt{3})^2}} = 2^{\log_2{3}} = 3$ となります。

したがって、$X^2 - 3X - 4 = 0$ となり、(ア) = 3です。

(イ)(ウ) $X^2 - 3X - 4 = 0$ を因数分解すると、$(X - 4)(X + 1) = 0$ となります。

したがって、$X = 4$ または $X = -1$ となり、(イ) = 4, (ウ) = 1です。

(エ) $X = 2^x$ であり、$x$ が実数であれば、$2^x > 0$ であるため、$X > 0$ という条件が必要です。したがって、$X > 0$ であり、(エ) = 0です。

(オ) $X = 4$ または $X = -1$ でしたが、$X > 0$ より、$X = 4$ が解の候補です。

$2^x = 4$ より、$2^x = 2^2$ となり、$x = 2$ が解となります。

したがって、(オ) = 2です。

3. 最終的な答え

(ア) 3

(イ) 4

(ウ) 1

(エ) 0

(オ) 2