問題は、与えられた行列式を指定された行または列に関して余因子展開することです。 (1) は行列 $\begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & -2 \\ 0 & 6 & 5 \end{vmatrix}$ の第3行に関する余因子展開を求めます。 (2) は行列 $\begin{vmatrix} 1 & x & -1 \\ 3 & y & 2 \\ 2 & z & 1 \end{vmatrix}$ の第2列に関する余因子展開を求めます。

1. 問題の内容

問題は、与えられた行列式を指定された行または列に関して余因子展開することです。

(1) は行列 $\begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & -2 \\ 0 & 6 & 5 \end{vmatrix}$ の第3行に関する余因子展開を求めます。

(2) は行列 $\begin{vmatrix} 1 & x & -1 \\ 3 & y & 2 \\ 2 & z & 1 \end{vmatrix}$ の第2列に関する余因子展開を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 行列 $\begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & -2 \\ 0 & 6 & 5 \end{vmatrix}$ の第3行に関する余因子展開を行います。

第3行の要素は0, 6, 5です。それぞれの余因子は、

$A_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 3 & -2 \end{vmatrix} = 1 \cdot (1 \cdot (-2) - 3 \cdot 3) = -2 - 9 = -11$

$A_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -1 \cdot (2 \cdot (-2) - 3 \cdot 1) = -1 \cdot (-4 - 3) = 7$

$A_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 1 \cdot (2 \cdot 3 - 1 \cdot 1) = 6 - 1 = 5$

したがって、余因子展開は

$0 \cdot A_{31} + 6 \cdot A_{32} + 5 \cdot A_{33} = 0 \cdot (-11) + 6 \cdot 7 + 5 \cdot 5 = 0 + 42 + 25 = 67$

(2) 行列 $\begin{vmatrix} 1 & x & -1 \\ 3 & y & 2 \\ 2 & z & 1 \end{vmatrix}$ の第2列に関する余因子展開を行います。

第2列の要素はx, y, zです。それぞれの余因子は、

$A_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -1 \cdot (3 \cdot 1 - 2 \cdot 2) = -1 \cdot (3 - 4) = 1$

$A_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (1 \cdot 1 - (-1) \cdot 2) = 1 \cdot (1 + 2) = 3$

$A_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = -1 \cdot (1 \cdot 2 - (-1) \cdot 3) = -1 \cdot (2 + 3) = -5$

したがって、余因子展開は

$x \cdot A_{12} + y \cdot A_{22} + z \cdot A_{32} = x \cdot 1 + y \cdot 3 + z \cdot (-5) = x + 3y - 5z$

3. 最終的な答え

(1) 67

(2) $x + 3y - 5z$