(1) 公比2の等比数列について、第3項の値と初項から第8項までの和を求めます。 (2) 数列 $0, 1, 3, 6, 10, 15, \dots$ の次の項を求めます。 (3) 初項1、公比$\frac{1}{3}$の等比数列の総和を求めます。 (4) 漸化式 $a_1 = 0, a_{n+1} = 2a_n + 2$ (n = 1, 2, ...) の一般項 $a_n$ を求めます。

1. 問題の内容

(1) 公比2の等比数列について、第3項の値と初項から第8項までの和を求めます。

(2) 数列 $0, 1, 3, 6, 10, 15, \dots$ の次の項を求めます。

(3) 初項1、公比$\frac{1}{3}$の等比数列の総和を求めます。

(4) 漸化式 $a_1 = 0, a_{n+1} = 2a_n + 2$ (n = 1, 2, ...) の一般項 $a_n$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

* 公比2の等比数列を $\{a_n\}$ とします。このとき、$a_n = a_1 \cdot 2^{n-1}$ と表されます。

第3項の値は $a_3 = a_1 \cdot 2^{3-1} = a_1 \cdot 2^2 = 4a_1$ です。

問題文に初項が明示されていないので、初項を1と仮定すると、第3項は $a_3 = 4 \cdot 1 = 4$ となります。

* 初項から第8項までの和 $S_8$ は、等比数列の和の公式 $S_n = \frac{a_1(r^n - 1)}{r-1}$ を用いて計算できます。

$S_8 = \frac{1(2^8 - 1)}{2-1} = \frac{256 - 1}{1} = 255$

(2)

* 与えられた数列の階差数列を求めます。

$1-0 = 1, 3-1 = 2, 6-3 = 3, 10-6 = 4, 15-10 = 5$

階差数列は $1, 2, 3, 4, 5, \dots$ となるので、次の階差は6になると考えられます。

したがって、次の項は $15 + 6 = 21$ となります。

(3)

* 初項1、公比$\frac{1}{3}$の等比数列の総和 $S$ は、無限等比級数の和の公式 $S = \frac{a}{1-r}$ を用いて計算できます。

$S = \frac{1}{1-\frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}$

(4)

* 漸化式 $a_{n+1} = 2a_n + 2$ を解きます。

まず、特性方程式 $x = 2x + 2$ を解きます。

$x = -2$

漸化式を $a_{n+1} + 2 = 2(a_n + 2)$ と変形します。

$b_n = a_n + 2$ とおくと、$b_{n+1} = 2b_n$ となり、$b_n$ は公比2の等比数列になります。

$b_1 = a_1 + 2 = 0 + 2 = 2$

したがって、$b_n = b_1 \cdot 2^{n-1} = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n$

$a_n = b_n - 2 = 2^n - 2$

3. 最終的な答え

(1) 第3項の値は 4 であり、初項から第8項までの数列の和は 255 である。

(2) 次の数列の項は 21 である。

(3) 等比数列の総和は $\frac{3}{2}$ である。

(4) 一般項 $a_n = 2^n - 2$ である。