与えられた数列に関する問題を解き、空欄を埋める。具体的には、等比数列の項の値と和、ある数列の規則性、等比数列の無限和、漸化式の一般項を求め、また、指数方程式の解を求める問題が出題されている。

1. 問題の内容

与えられた数列に関する問題を解き、空欄を埋める。具体的には、等比数列の項の値と和、ある数列の規則性、等比数列の無限和、漸化式の一般項を求め、また、指数方程式の解を求める問題が出題されている。

2. 解き方の手順

(1) 等比数列:

* 第3項は $2 \times 2^{3-1} = 2 \times 2^2 = 2 \times 4 = 8$。

* 初項から第8項までの和は、$S_8 = \frac{2(2^8 - 1)}{2-1} = 2(256-1) = 2(255) = 510$。

(2) 数列の規則性:

* 与えられた数列は、階差数列が $1, 2, 3, 4, 5, ...$ となっている。次の階差は6なので、$15 + 6 = 21$。

(3) 等比数列の無限和:

* $\sum_{i=1}^{\infty} 1 \times (\frac{1}{3})^{i-1} = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}$。

(4) 漸化式:

* $a_{n+1} = 2a_n + 2$、$a_1 = 0$ を解く。特性方程式は$x = 2x + 2$より$x = -2$。

したがって、$a_{n+1} + 2 = 2(a_n + 2)$。数列 $\{a_n + 2\}$ は初項$a_1 + 2 = 2$、公比2の等比数列。

$a_n + 2 = 2 \times 2^{n-1} = 2^n$。よって、$a_n = 2^n - 2$。

指数方程式

$4^x - 4^{\log_2{\sqrt{3}}} \cdot 2^x - 4 = 0$

$(2^x)^2 - 4^{\log_2{\sqrt{3}}} \cdot 2^x - 4 = 0$

$X = 2^x$とおくと、

$X^2 - 4^{\log_2{\sqrt{3}}} X - 4 = 0$

ここで、$4^{\log_2{\sqrt{3}}} = (2^2)^{\log_2{\sqrt{3}}} = 2^{2 \log_2{\sqrt{3}}} = 2^{\log_2{(\sqrt{3})^2}} = 2^{\log_2{3}} = 3$

よって、$X^2 - 3X - 4 = 0$

$(X-4)(X+1) = 0$

$X = 4, -1$

$X = 2^x > 0$より、$X = 4$

$2^x = 4 = 2^2$

$x = 2$

3. 最終的な答え

(ア): 8

(イ)(ウ)(エ): 510

(オ)(カ): 21

(キ): 3/2

(ク): 2^n

(ケ): 2

(ア): 3

(イ): 4

(ウ): 1

(エ): 0

(オ): 2