次の数を小さい順に並べたとき、空欄に当てはまる番号を答えよ。 与えられた数は、$\sqrt{2}$、$\sqrt[3]{3}$、$\sqrt[5]{5}$である。

はい、承知いたしました。数学の問題を解いていきます。

**問3(1)**

1. 問題の内容

次の数を小さい順に並べたとき、空欄に当てはまる番号を答えよ。

与えられた数は、$\sqrt{2}$、$\sqrt[3]{3}$、$\sqrt[5]{5}$である。

2. 解き方の手順

これらの数を比較するために、すべてを同じ指数を持つ累乗根の形に変形する。ここでは、3つの数の指数の最小公倍数である30乗根に変換する。

* $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{15}{30}} = (2^{15})^{\frac{1}{30}}$

* $\sqrt[3]{3} = 3^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{10}{30}} = (3^{10})^{\frac{1}{30}}$

* $\sqrt[5]{5} = 5^{\frac{1}{5}} = 5^{\frac{6}{30}} = (5^{6})^{\frac{1}{30}}$

それぞれの数を30乗すると以下のようになる。

* $2^{15} = 32768$

* $3^{10} = 59049$

* $5^{6} = 15625$

したがって、$5^{6} < 2^{15} < 3^{10}$であるから、$\sqrt[5]{5} < \sqrt{2} < \sqrt[3]{3}$となる。

したがって、小さい順に並べると、$\sqrt[5]{5}, \sqrt{2}, \sqrt[3]{3}$となり、番号で表すと2, 0, 1である。

3. 最終的な答え

コ: 2

サ: 0

シ: 1

**問3(2)**

1. 問題の内容

$1 < a < b < a^2$のとき、次の数を小さい順に並べたとき、空欄に当てはまる番号を答えよ。

与えられた数は、$\log_{a}b$、$\log_{b}a$、$\log_{\frac{a}{b}}a$、$\log_{\frac{b}{a}}b$、$\frac{1}{2}$である。

2. 解き方の手順

まず、与えられた条件 $1 < a < b < a^2$ から、各対数の値を評価する。

(0) $\log_{a}b > 1$ ($b > a$より)

(1) $\log_{b}a < 1$ ($a < b$より)

(2) $\log_{\frac{a}{b}}a = \frac{\log a}{\log \frac{a}{b}} = \frac{\log a}{\log a - \log b} < 0$ ($a < b$より$\log a - \log b < 0$であり、$\log a > 0$なので、全体の値は負になる。)

(3) $\log_{\frac{b}{a}}b = \frac{\log b}{\log \frac{b}{a}} = \frac{\log b}{\log b - \log a} > 1$ ($\log b > \log a > 0$なので$0 < \log b - \log a < \log b$が成り立つから、全体の値は1より大きくなる。)

(4) $\frac{1}{2}$

また、$b < a^2$より$\log_a b < 2$である。

したがって、$\log_{b}a < 1$であり、特に、$a < b$より$0 < \log_{b}a < 1$。

$\log_{\frac{a}{b}}a < 0$

$\log_{a}b > 1$

$\log_{\frac{b}{a}}b > 1$

$\log_{a}b$と$\log_{\frac{b}{a}}b$の大小関係を調べる。

$\log_{a}b = \frac{\log b}{\log a}$

$\log_{\frac{b}{a}}b = \frac{\log b}{\log b - \log a}$

$\frac{1}{\log_{a}b} = \frac{\log a}{\log b}$

$\frac{1}{\log_{\frac{b}{a}}b} = \frac{\log b - \log a}{\log b} = 1 - \frac{\log a}{\log b}$

よって、$\frac{1}{\log_{a}b} + \frac{1}{\log_{\frac{b}{a}}b} = 1$となる。

ここで、$1 < a < b < a^2$より$\log_a b > 1$なので、$0 < \frac{1}{\log_{a}b} < 1$

また、$\log_{\frac{b}{a}}b > 1$なので、$0 < \frac{1}{\log_{\frac{b}{a}}b} < 1$

$\frac{1}{\log_{a}b} < \frac{1}{2}$のとき$\frac{1}{\log_{\frac{b}{a}}b} > \frac{1}{2}$となり、$\log_{a}b > 2$となるが、$b < a^2$より$\log_{a}b < 2$なので矛盾。

したがって$\frac{1}{\log_{a}b} > \frac{1}{2}$なので$\frac{1}{\log_{\frac{b}{a}}b} < \frac{1}{2}$となり、$\log_{a}b < 2$なので$\log_{a}b < \log_{\frac{b}{a}}b$

以上より、$\log_{\frac{a}{b}}a < \frac{1}{2} < \log_{b}a < \log_{a}b < \log_{\frac{b}{a}}b$

番号で表すと、2, 4, 1, 0, 3となる。

3. 最終的な答え

ス: 2

セ: 4

ソ: 1

タ: 0

チ: 3

**問4**

1. 問題の内容

方程式 $x^3 - 12x + 5 - a = 0$ が異なる2つの正の解と1つの負の解を持つとき、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

$f(x) = x^3 - 12x + 5$ とおく。

$f'(x) = 3x^2 - 12 = 3(x^2 - 4) = 3(x - 2)(x + 2)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = \pm 2$ のときである。

増減表は以下のようになる。

| x | ... | -2 | ... | 2 | ... |

| :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- |

| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | ↑ | 極大 | ↓ | 極小 | ↑ |

$f(-2) = (-2)^3 - 12(-2) + 5 = -8 + 24 + 5 = 21$

$f(2) = (2)^3 - 12(2) + 5 = 8 - 24 + 5 = -11$

方程式 $x^3 - 12x + 5 - a = 0$ が異なる2つの正の解と1つの負の解を持つためには、$f(2) < a < f(-2)$が必要である。

よって、 $-11 < a - 5 < 21$より $-11 < a - 5 < f(0)$

ここで$y = f(x)$と$y = a$との交点を考える。

$x^3 - 12x + 5 - a = 0$

$a = x^3 - 12x + 5$

$y = x^3 - 12x + 5$と$y = a$が異なる2つの正の解と1つの負の解を持つためには、

$-11 < a < 5$を満たす必要がある。

3. 最終的な答え

ツテト: -11

ナ: 5

**問5**

1. 問題の内容

等式 $f(x) = 3x^2 - x \int_{0}^{2} f(t) dt + 2$ を満たす関数 $f(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$C = \int_{0}^{2} f(t) dt$ とおくと、$f(x) = 3x^2 - Cx + 2$ となる。

これを積分すると、

$C = \int_{0}^{2} (3t^2 - Ct + 2) dt = [t^3 - \frac{1}{2}Ct^2 + 2t]_{0}^{2} = 8 - 2C + 4 = 12 - 2C$

$C = 12 - 2C$ より $3C = 12$ となり、$C = 4$ を得る。

したがって、$f(x) = 3x^2 - 4x + 2$

3. 最終的な答え

ニ: 3

ヌ: 4

ネ: 2