問題は全部で4問あります。 * 問1: 与えられた数が有理数か無理数かを判定する。 * 問2: 空欄に当てはまる適切な語を選ぶ。 * 問3: 連立一次方程式を解く。 * 問4: 絶対値を含む方程式に関する問題。

1. 問題の内容

問題は全部で4問あります。

* 問1: 与えられた数が有理数か無理数かを判定する。

* 問2: 空欄に当てはまる適切な語を選ぶ。

* 問3: 連立一次方程式を解く。

* 問4: 絶対値を含む方程式に関する問題。

2. 解き方の手順

**問1**

* (ア) $\pi$ (円周率): 円周率は無理数です。

* (イ) $\sqrt{\frac{9}{4}}$: $\sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$ なので、有理数です。

* (ウ) $e$ (ネイピア数): ネイピア数は無理数です。

**問2**

* 2の倍数は、6の倍数であるための (ア) **必要条件**。6の倍数であれば2の倍数ですが、2の倍数でも6の倍数とは限りません。

* 2の倍数である自然数は、有理数であるための (イ) **必要条件**。全ての整数は有理数です。

* 関数 $f(x)$ がある $x = a$ において極大値 $f(a) = v$ を持つことは、その値 $v$ がすべての定義域において最大値であるための (ウ) **十分条件ではない**。極大値は、局所的な最大値であり、必ずしも定義域全体で最大値とは限りません。

**問3**

(1)

連立方程式

$x + 2y = 3$

$2x + y = 3$

を解く。

1つ目の式を2倍すると $2x + 4y = 6$。

2つ目の式からこの式を引くと、 $-3y = -3$ より $y = 1$。

これを1つ目の式に代入すると、$x + 2(1) = 3$ より $x = 1$。

よって、解は $(x, y) = (1, 1)$。

(2)

連立方程式

$2x - y = 2$

$3x + 5y = 3$

を解く。

1つ目の式を5倍すると $10x - 5y = 10$。

2つ目の式と足すと、$13x = 13$ より $x = 1$。

これを1つ目の式に代入すると、$2(1) - y = 2$ より $y = 0$。

よって、解は $(x, y) = (1, 0)$。

(3)

連立方程式

$x - y + z = -2$

$2x + 5y + z = 7$

$x + y + z = 0$

を解く。

1つ目の式から3つ目の式を引くと、$-2y = -2$ より $y = 1$。

3つ目の式から1つ目の式を引くと、 $2y = 2$より $y = 1$。

3つ目の式に $y = 1$ を代入すると、$x + 1 + z = 0$ より $z = -x - 1$。

これを1つ目の式に代入すると、$x - 1 + (-x - 1) = -2$ より $-2 = -2$。

これを2つ目の式に代入すると、$2x + 5(1) + (-x - 1) = 7$ より $x = 3$。

したがって、$z = -3 - 1 = -4$。

よって、解は $(x, y, z) = (3, 1, -4)$。

**問4**

(1) $|x^2 - x - 6| = 2x$ について、$|x^2 - x - 6|$ を考える。

$x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$

$x^2 - x - 6 < 0$ となるのは、$-2 < x < 3$ のとき。

3. 最終的な答え

**問1**

* (ア) 無理数

* (イ) 有理数

* (ウ) 無理数

**問2**

* (ア) 必要条件

* (イ) 必要条件

* (ウ) 十分条件ではない

**問3**

* (ア) 1

* (イ) 1

* (ウ) 1

* (エ) 0

* (オ) 3

* (カ) 1

* (キ) 4

**問4**

* (ア) -2

* (イ) 3