2次方程式 $x^2 - ax + a + 3 = 0$ が異なる2つの負の解を持つとき、定数 $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - ax + a + 3 = 0$ が異なる2つの負の解を持つとき、定数 $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

2次方程式が異なる2つの実数解を持つためには、判別式 $D > 0$ である必要がある。

2つの解が共に負であるためには、解と係数の関係から、

(1) (判別式) $D > 0$

(2) (2解の和) $\alpha + \beta < 0$

(3) (2解の積) $\alpha \beta > 0$

が成り立つ必要がある。

まず、判別式 $D$ を計算する。

$D = (-a)^2 - 4(a+3) = a^2 - 4a - 12$

(1) $D > 0$ より

$a^2 - 4a - 12 > 0$

$(a - 6)(a + 2) > 0$

$a < -2$ または $a > 6$

次に、解と係数の関係から、

$\alpha + \beta = a$

$\alpha \beta = a+3$

(2) $\alpha + \beta < 0$ より

$a < 0$

(3) $\alpha \beta > 0$ より

$a+3 > 0$

$a > -3$

(1), (2), (3) の条件をすべて満たす $a$ の範囲を求める。

$a < -2$ または $a > 6$

$a < 0$

$a > -3$

これらの条件を数直線上に表すと、$a$ の範囲は $-3 < a < -2$ であることがわかる。

3. 最終的な答え

$-3 < a < -2$