(1) $\sin\theta - \cos\theta = \frac{3}{5}$ のとき、$\sin\theta\cos\theta$ と $\sin^3\theta - \cos^3\theta$ の値を求める。 (2) $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ で、$2\sin^2\theta + 5\cos\theta - 4 = 0$ のとき、$\theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) $\sin\theta - \cos\theta = \frac{3}{5}$ のとき、$\sin\theta\cos\theta$ と $\sin^3\theta - \cos^3\theta$ の値を求める。

(2) $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ で、$2\sin^2\theta + 5\cos\theta - 4 = 0$ のとき、$\theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\sin\theta - \cos\theta = \frac{3}{5}$ の両辺を2乗する。

$(\sin\theta - \cos\theta)^2 = (\frac{3}{5})^2$

$\sin^2\theta - 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = \frac{9}{25}$

ここで、$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ であるから、

$1 - 2\sin\theta\cos\theta = \frac{9}{25}$

$2\sin\theta\cos\theta = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

$\sin\theta\cos\theta = \frac{8}{25}$

次に、$\sin^3\theta - \cos^3\theta$ を求める。

$\sin^3\theta - \cos^3\theta = (\sin\theta - \cos\theta)(\sin^2\theta + \sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta)$

$= (\sin\theta - \cos\theta)(1 + \sin\theta\cos\theta)$

$\sin\theta - \cos\theta = \frac{3}{5}$ であり、$\sin\theta\cos\theta = \frac{8}{25}$ であるから、

$\sin^3\theta - \cos^3\theta = \frac{3}{5}(1 + \frac{8}{25}) = \frac{3}{5}(\frac{33}{25}) = \frac{99}{125}$

(2)

$2\sin^2\theta + 5\cos\theta - 4 = 0$ において、$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ であるから、

$2(1 - \cos^2\theta) + 5\cos\theta - 4 = 0$

$2 - 2\cos^2\theta + 5\cos\theta - 4 = 0$

$-2\cos^2\theta + 5\cos\theta - 2 = 0$

$2\cos^2\theta - 5\cos\theta + 2 = 0$

$(2\cos\theta - 1)(\cos\theta - 2) = 0$

したがって、$\cos\theta = \frac{1}{2}$ または $\cos\theta = 2$

$-1 \le \cos\theta \le 1$ であるから、$\cos\theta = 2$ は不適である。

$\cos\theta = \frac{1}{2}$ となるのは、$\theta = 60^\circ$ のときである。

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ であるから、$\theta = 60^\circ$

3. 最終的な答え

(1) $\sin\theta\cos\theta = \frac{8}{25}$ 、$\sin^3\theta - \cos^3\theta = \frac{99}{125}$

(2) $\theta = 60^\circ$