対称行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 1 & 5 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ の固有値と固有ベクトルを求め、行列 $A$ を対角化せよ。

1. 問題の内容

対称行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 1 & 5 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ の固有値と固有ベクトルを求め、行列 $A$ を対角化せよ。

2. 解き方の手順

(i) 固有値と固有ベクトルの計算

まず、行列 $A$ の固有方程式を解いて固有値を求める。固有方程式は $\det(A - \lambda I) = 0$ で与えられる。ここで $I$ は単位行列である。

$A - \lambda I = \begin{pmatrix} 1-\lambda & 1 & 3 \\ 1 & 5-\lambda & 1 \\ 3 & 1 & 1-\lambda \end{pmatrix}$

$\det(A - \lambda I) = (1-\lambda)((5-\lambda)(1-\lambda) - 1) - 1(1-\lambda - 3) + 3(1 - 3(5-\lambda))$

$= (1-\lambda)(5 - 6\lambda + \lambda^2 - 1) - ( -2 - \lambda) + 3(1 - 15 + 3\lambda)$

$= (1-\lambda)(\lambda^2 - 6\lambda + 4) + 2 + \lambda + 3(3\lambda - 14)$

$= \lambda^2 - 6\lambda + 4 - \lambda^3 + 6\lambda^2 - 4\lambda + 2 + \lambda + 9\lambda - 42$

$= -\lambda^3 + 7\lambda^2 - 6\lambda + 4 -40+10\lambda$

$= -\lambda^3 + 7\lambda^2 -36$

$= -(\lambda-6)(\lambda+2)((\lambda-3))=0$

$-\lambda^3 + 7\lambda^2 -10\lambda-36 +16\lambda$

$= -\lambda^3 + 7\lambda^2 -6\lambda - 36 = 0$

$= -(\lambda -6)(\lambda^2 + \lambda +6)$

$\lambda = 6$ を試すと, $\det(A - 6I) = 0$となる。

したがって、$\lambda = 6$ は固有値である。

$\det(A - \lambda I) = (6-\lambda)(-\lambda^2+6\lambda-36)=0$

$(\lambda+2)(6 - \lambda)$

$(\lambda - 6)(\lambda^2 + \lambda - 6) = (\lambda - 6)(\lambda + 3)(\lambda - 2)$

固有値は $\lambda_1 = 6, \lambda_2 = 2, \lambda_3 = -2$

次に、各固有値に対応する固有ベクトルを求める。

$\lambda_1 = 6$ のとき、$(A - 6I)v_1 = 0$ を解く。

$\begin{pmatrix} -5 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-5x + y + 3z = 0$

$x - y + z = 0$

$3x + y - 5z = 0$

$x = z, y = 2x$

$v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\lambda_2 = 2$ のとき、$(A - 2I)v_2 = 0$ を解く。

$\begin{pmatrix} -1 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-x + y + 3z = 0$

$x + 3y + z = 0$

$3x + y - z = 0$

$x = 1, y=-1, z = 0$

$v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\lambda_3 = -2$ のとき、$(A + 2I)v_3 = 0$ を解く。

$\begin{pmatrix} 3 & 1 & 3 \\ 1 & 7 & 1 \\ 3 & 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$3x + y + 3z = 0$

$x + 7y + z = 0$

$3x + y + 3z = 0$

$x=-1, y=0, z=1$

$v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$

(ii) 対角化

固有ベクトルを並べて行列 $P$ を作る。

$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

$P^{-1}AP = D$ (対角行列)

3. 最終的な答え

固有値：$\lambda_1 = 6, \lambda_2 = 2, \lambda_3 = -2$

固有ベクトル：$v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}, v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$

対角化：$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}, D = \begin{pmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}$

$P^{-1}AP = D$

$A = PDP^{-1}$

ここで、固有ベクトルを正規化し、直交行列$P$とすることもできる。

正規化された固有ベクトルは、

$v_1' = \frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, v_2' = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}, v_3' = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$

である。

このとき、$P$は直交行列であり、$P^{-1} = P^T$となる。