与えられた対称行列 $A$ の固有値と固有ベクトルを求める問題です。 行列 $A$ は、 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 1 & 5 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ で与えられます。

1. 問題の内容

与えられた対称行列 $A$ の固有値と固有ベクトルを求める問題です。

行列 $A$ は、

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 1 & 5 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

で与えられます。

2. 解き方の手順

(1) 固有方程式を立てる:

行列 $A$ の固有値を $\lambda$ とすると、固有方程式は

$\det(A - \lambda I) = 0$

となります。ここで、$I$ は単位行列です。

$A - \lambda I = \begin{pmatrix} 1-\lambda & 1 & 3 \\ 1 & 5-\lambda & 1 \\ 3 & 1 & 1-\lambda \end{pmatrix}$

$\det(A - \lambda I) = (1-\lambda)((5-\lambda)(1-\lambda) - 1) - 1(1-\lambda - 3) + 3(1 - 3(5-\lambda))$

$= (1-\lambda)(5 - 6\lambda + \lambda^2 - 1) - ( -2 - \lambda) + 3(1 - 15 + 3\lambda)$

$= (1-\lambda)(\lambda^2 - 6\lambda + 4) + 2 + \lambda + 3(-14 + 3\lambda)$

$= \lambda^2 - 6\lambda + 4 - \lambda^3 + 6\lambda^2 - 4\lambda + 2 + \lambda - 42 + 9\lambda$

$= -\lambda^3 + 7\lambda^2 - 42 + 6$

$= -\lambda^3 + 7\lambda^2 - 36 = 0$

$\lambda^3 - 7\lambda^2 + 36 = 0$

(2) 固有値を求める:

固有方程式を解きます。

$\lambda = -2$ を代入すると、 $(-2)^3 - 7(-2)^2 + 36 = -8 - 28 + 36 = 0$ となり、$\lambda = -2$ は固有値の一つです。

従って、$\lambda + 2$ は $\lambda^3 - 7\lambda^2 + 36$ の因子となります。

多項式除算を行うと、

$\lambda^3 - 7\lambda^2 + 36 = (\lambda + 2)(\lambda^2 - 9\lambda + 18) = (\lambda + 2)(\lambda - 3)(\lambda - 6)$

したがって、固有値は $\lambda_1 = -2, \lambda_2 = 3, \lambda_3 = 6$ です。

(3) 固有ベクトルを求める:

各固有値 $\lambda$ に対して、$(A - \lambda I)v = 0$ を満たす固有ベクトル $v$ を求めます。

(i) $\lambda = -2$ のとき:

$A - (-2)I = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 3 \\ 1 & 7 & 1 \\ 3 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 3 & 1 & 3 \\ 1 & 7 & 1 \\ 3 & 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$3x + y + 3z = 0$

$x + 7y + z = 0$

最初の式から $y = -3x - 3z$ となります。これを2番目の式に代入すると、

$x + 7(-3x - 3z) + z = 0$

$x - 21x - 21z + z = 0$

$-20x - 20z = 0$

$x = -z$

$y = -3x - 3z = -3x + 3x = 0$

従って、固有ベクトルは $v_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

(ii) $\lambda = 3$ のとき:

$A - 3I = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & -2 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} -2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-2x + y + 3z = 0$

$x + 2y + z = 0$

$3x + y - 2z = 0$

2番目の式から $x = -2y - z$

これを1番目の式に代入すると、$-2(-2y - z) + y + 3z = 0$

$4y + 2z + y + 3z = 0$

$5y + 5z = 0$

$y = -z$

$x = -2y - z = -2(-z) - z = 2z - z = z$

従って、固有ベクトルは $v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$

(iii) $\lambda = 6$ のとき:

$A - 6I = \begin{pmatrix} -5 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & -5 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} -5 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-5x + y + 3z = 0$

$x - y + z = 0$

$3x + y - 5z = 0$

2番目の式から $y = x + z$

これを1番目の式に代入すると、$-5x + x + z + 3z = 0$

$-4x + 4z = 0$

$x = z$

$y = x + z = 2x$

従って、固有ベクトルは $v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

固有値: $\lambda_1 = -2, \lambda_2 = 3, \lambda_3 = 6$

固有ベクトル: $v_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$