対称行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 1 & 5 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ の固有値と固有ベクトルを求め、行列Aを対角化する問題です。

1. 問題の内容

対称行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 1 & 5 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ の固有値と固有ベクトルを求め、行列Aを対角化する問題です。

2. 解き方の手順

(i) 固有値と固有ベクトルの計算

1. 固有方程式 $|A - \lambda I| = 0$ を解いて固有値 $\lambda$ を求めます。

$A - \lambda I = \begin{pmatrix} 1-\lambda & 1 & 3 \\ 1 & 5-\lambda & 1 \\ 3 & 1 & 1-\lambda \end{pmatrix}$

$|A - \lambda I| = (1-\lambda)((5-\lambda)(1-\lambda) - 1) - 1(1-\lambda - 3) + 3(1 - 3(5-\lambda))$

$= (1-\lambda)(\lambda^2 - 6\lambda + 4) - (-\lambda - 2) + 3(-14 + 3\lambda)$

$= \lambda^2 - 6\lambda + 4 - \lambda^3 + 6\lambda^2 - 4\lambda + \lambda + 2 - 42 + 9\lambda$

$= -\lambda^3 + 7\lambda^2 + 0\lambda - 36 = 0$

$\lambda^3 - 7\lambda^2 + 36 = 0$

$(\lambda + 2)(\lambda^2 - 9\lambda + 18) = 0$

$(\lambda + 2)(\lambda - 3)(\lambda - 6) = 0$

したがって、固有値は $\lambda_1 = -2, \lambda_2 = 3, \lambda_3 = 6$ です。

2. 各固有値に対応する固有ベクトルを求めます。

* $\lambda_1 = -2$ のとき:

$(A + 2I)v_1 = 0$

$\begin{pmatrix} 3 & 1 & 3 \\ 1 & 7 & 1 \\ 3 & 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$3x + y + 3z = 0$

$x + 7y + z = 0$

$x = -3z -y$ を第2の式に代入すると、

$-3z-y + 7y + z = 0$

$6y - 2z = 0$

$y = \frac{1}{3}z$

$x = -3z - \frac{1}{3}z = -\frac{10}{3}z$

$v_1 = \begin{pmatrix} -10/3 \\ 1/3 \\ 1 \end{pmatrix}$。正規化すると、$v_1 = \frac{1}{\sqrt{110/9+1/9+1}} \begin{pmatrix} -10/3 \\ 1/3 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{120/9}}\begin{pmatrix} -10/3 \\ 1/3 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{3}{\sqrt{120}}\begin{pmatrix} -10/3 \\ 1/3 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{120}}\begin{pmatrix} -10 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{2\sqrt{30}}\begin{pmatrix} -10 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$

あるいは、簡単のために $v_1 = \begin{pmatrix} -10 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$としてもよい。

* $\lambda_2 = 3$ のとき:

$(A - 3I)v_2 = 0$

$\begin{pmatrix} -2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-2x + y + 3z = 0$

$x + 2y + z = 0$

$3x + y - 2z = 0$

$x = -2y - z$ を最初の式に代入すると、

$-2(-2y-z) + y + 3z = 0$

$4y + 2z + y + 3z = 0$

$5y + 5z = 0$

$y = -z$

$x = -2(-z) - z = 2z - z = z$

$v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$。 正規化すると、 $v_2 = \frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$

* $\lambda_3 = 6$ のとき:

$(A - 6I)v_3 = 0$

$\begin{pmatrix} -5 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-5x + y + 3z = 0$

$x - y + z = 0$

$3x + y - 5z = 0$

$y = x + z$ を最初の式に代入すると、

$-5x + x + z + 3z = 0$

$-4x + 4z = 0$

$x = z$

$y = x + x = 2x$

$v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$。 正規化すると、$v_3 = \frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

(ii) 行列Aの対角化

固有ベクトルを並べた行列 $P = \begin{pmatrix} -10 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ を考えます。この行列は正則で、$P^{-1}AP = D$ は対角行列になります。

$D = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

固有値: $\lambda_1 = -2, \lambda_2 = 3, \lambda_3 = 6$

固有ベクトル: $v_1 = \begin{pmatrix} -10 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$, $v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$, $v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

対角化: $D = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}$