2次不等式 $x^2 + kx + k + 3 > 0$ の解がすべての実数となるような、定数 $k$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2次不等式 $x^2 + kx + k + 3 > 0$ の解がすべての実数となるような、定数 $k$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

2次不等式 $x^2 + kx + k + 3 > 0$ の解がすべての実数となるためには、2次関数 $y = x^2 + kx + k + 3$ のグラフが常に $x$ 軸より上にある必要があります。つまり、この2次関数の判別式 $D$ が $D < 0$ を満たす必要があります。

判別式 $D$ は、

$D = k^2 - 4(k+3) = k^2 - 4k - 12$

と計算できます。

$D < 0$ となる $k$ の範囲を求めるため、

$k^2 - 4k - 12 < 0$

を解きます。

$k^2 - 4k - 12 = (k - 6)(k + 2)$

なので、

$(k - 6)(k + 2) < 0$

となる $k$ の範囲は、$-2 < k < 6$ となります。

3. 最終的な答え

$-2 < k < 6$