与えられた3x3行列の逆行列を求めます。行列は $ \begin{bmatrix} 11 & 2 & -7 \\ 25 & 5 & -16 \\ -41 & -8 & 26 \end{bmatrix} $ です。

1. 問題の内容

与えられた3x3行列の逆行列を求めます。行列は

$$

\begin{bmatrix}

11 & 2 & -7 \\

25 & 5 & -16 \\

-41 & -8 & 26

\end{bmatrix}

$$

です。

2. 解き方の手順

行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ を求めるには、以下の手順に従います。

ステップ1: 行列式を計算する。

$$

\det(A) = 11(5 \cdot 26 - (-16) \cdot (-8)) - 2(25 \cdot 26 - (-16) \cdot (-41)) + (-7)(25 \cdot (-8) - 5 \cdot (-41))

$$

$$

\det(A) = 11(130 - 128) - 2(650 - 656) - 7(-200 + 205)

$$

$$

\det(A) = 11(2) - 2(-6) - 7(5)

$$

$$

\det(A) = 22 + 12 - 35

$$

$$

\det(A) = 34 - 35 = -1

$$

ステップ2: 余因子行列を計算する。

余因子行列 $C$ の要素 $C_{ij}$ は、$A$ の $i$ 行 $j$ 列を取り除いた行列の行列式に $(-1)^{i+j}$ を掛けたものです。

$$

C_{11} = (5 \cdot 26 - (-16) \cdot (-8)) = 130 - 128 = 2

$$

$$

C_{12} = -(25 \cdot 26 - (-16) \cdot (-41)) = -(650 - 656) = 6

$$

$$

C_{13} = (25 \cdot (-8) - 5 \cdot (-41)) = -200 + 205 = 5

$$

$$

C_{21} = -(2 \cdot 26 - (-7) \cdot (-8)) = -(52 - 56) = 4

$$

$$

C_{22} = (11 \cdot 26 - (-7) \cdot (-41)) = 286 - 287 = -1

$$

$$

C_{23} = -(11 \cdot (-8) - 2 \cdot (-41)) = -(-88 + 82) = 6

$$

$$

C_{31} = (2 \cdot (-16) - (-7) \cdot 5) = -32 + 35 = 3

$$

$$

C_{32} = -(11 \cdot (-16) - (-7) \cdot 25) = -(-176 + 175) = 1

$$

$$

C_{33} = (11 \cdot 5 - 2 \cdot 25) = 55 - 50 = 5

$$

したがって、余因子行列 $C$ は

$$

\begin{bmatrix}

2 & 6 & 5 \\

4 & -1 & 6 \\

3 & 1 & 5

\end{bmatrix}

$$

です。

ステップ3: 余因子行列の転置行列を計算する（随伴行列）。

随伴行列 $\text{adj}(A) = C^T$ は、余因子行列 $C$ の行と列を入れ替えたものです。

$$

\text{adj}(A) =

\begin{bmatrix}

2 & 4 & 3 \\

6 & -1 & 1 \\

5 & 6 & 5

\end{bmatrix}

$$

ステップ4: 逆行列を計算する。

$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A)$

$$

A^{-1} = \frac{1}{-1}

\begin{bmatrix}

2 & 4 & 3 \\

6 & -1 & 1 \\

5 & 6 & 5

\end{bmatrix}

$$

$$

A^{-1} =

\begin{bmatrix}

-2 & -4 & -3 \\

-6 & 1 & -1 \\

-5 & -6 & -5

\end{bmatrix}

$$

3. 最終的な答え

$$

\begin{bmatrix}

-2 & -4 & -3 \\

-6 & 1 & -1 \\

-5 & -6 & -5

\end{bmatrix}

$$