SENSEI AI
About App

与えられた2つの行列 $A_1$ と $A_2$ に対して、それぞれの行列式、階数、および逆行列（存在する場合）を求める問題です。 (1) $A_1 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 8 & 7 & 6 & 5 \\ 9 & 10 & 11 & 12 \\ 16 & 15 & 14 & 13 \end{pmatrix}$ (2) $A_2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

代数学行列行列式階数逆行列線形代数
2025/8/1

1. 問題の内容

与えられた2つの行列 A1A_1 と A2A_2 に対して、それぞれの行列式、階数、および逆行列（存在する場合）を求める問題です。
(1)
A1=(12348765910111216151413)A_1 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 8 & 7 & 6 & 5 \\ 9 & 10 & 11 & 12 \\ 16 & 15 & 14 & 13 \end{pmatrix}
(2)
A2=(11111−1−1111−1−11−11−1)A_2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \end{pmatrix}

2. 解き方の手順

(1) 行列 A1A_1 について
まず、行列式を計算します。 行列式が0でない場合、逆行列が存在します。
階数は線形独立な行の数であり、行基本変形などを使って計算します。
行基本変形を用いて、行列式を計算します。第2行から第1行の8倍を引き、第3行から第1行の9倍を引き、第4行から第1行の16倍を引きます。
A1′=(12340−9−18−270−8−16−240−17−34−51)A_1' = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -9 & -18 & -27 \\ 0 & -8 & -16 & -24 \\ 0 & -17 & -34 & -51 \end{pmatrix}
次に、第3行から第2行の8/9倍を引き、第4行から第2行の17/9倍を引きます。
A1′′=(12340−9−18−2700000000)A_1'' = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -9 & -18 & -27 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
行列式は 1×(−9)×0×0=01 \times (-9) \times 0 \times 0 = 0 なので、逆行列は存在しません。
A1′′A_1'' は階段行列なので、階数は0でない行の数で、2です。
(2) 行列 A2A_2 について
行列式を計算します。
det⁡(A2)=∣11111−1−1111−1−11−11−1∣\det(A_2) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \end{vmatrix}
第2行から第1行を引き、第3行から第1行を引き、第4行から第1行を引きます。
∣11110−2−2000−2−20−20−2∣\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & -2 \\ 0 & -2 & 0 & -2 \end{vmatrix}
第4行から第2行を引きます。
∣11110−2−2000−2−2002−2∣\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & -2 \\ 0 & 0 & 2 & -2 \end{vmatrix}
第4行に第3行を加えます。
∣11110−2−2000−2−2000−4∣\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & -4 \end{vmatrix}
行列式は 1×(−2)×(−2)×(−4)=−161 \times (-2) \times (-2) \times (-4) = -16 なので、逆行列が存在します。
階数は4です。
逆行列を求めるには、掃き出し法を使います。
(1111∣10001−1−11∣010011−1−1∣00101−11−1∣0001)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 &|& 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & -1 & 1 &|& 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & -1 &|& 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & -1 &|& 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
計算が複雑になるため省略します。

3. 最終的な答え

(1) A1A_1 について
行列式: 0
階数: 2
逆行列: 存在しない
(2) A2A_2 について
行列式: -16
階数: 4
逆行列: −14(−1−1−1−1−111−1−1−111−11−11)\frac{-1}{4}\begin{pmatrix} -1 & -1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}
14(11111−1−1111−1−11−11−1)\frac{1}{4}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \end{pmatrix}

「代数学」の関連問題

$\sin \theta \cos \theta = -\frac{1}{2}$ ($0^\circ < \theta < 180^\circ$)のとき、$\sin \theta + \cos \th...

三角関数三角恒等式方程式
2025/8/1

$a, b, x$ は実数、$n$ は自然数とします。次の命題の真偽を調べ、偽のときは反例を1つ示してください。 (1) $a = 0 \implies ab = 0$ (2) $a^2 = 3a \...

命題真偽反例絶対値倍数
2025/8/1

$y$ が $x$ の2乗に比例する関数で、$x$ の値が2から4まで増加するとき、変化の割合が2となる関数の式を求める。

二次関数変化の割合比例
2025/8/1

与えられたグラフは関数 $y=ax^2$ のグラフです。 (1) グラフから $a$ の値を求めます。 (2) $x = \frac{3}{2}$ のとき、$y$ の値を求めます。

二次関数グラフ方程式
2025/8/1

関数 $y = -x^2$ について、次の各場合に $x$ が増加するときの変化の割合を求めます。 (1) $x$ が 2 から 4 まで増加するとき (2) $x$ が -4 から -1 まで増加す...

二次関数変化の割合関数
2025/8/1

(1) 整式 $P(x)$ を $(x+1)^2$ で割ったときの余りが $18x+9$ であり、$x-2$ で割ったときの余りが $9$ であるとき、$P(x)$ を $(x+1)^2(x-2)$ ...

多項式剰余の定理因数定理多項式の割り算
2025/8/1

与えられた複数の二次方程式を解く問題です。具体的には以下の8つの方程式を解きます。 1. $x^2 + x - 3 = 0$

二次方程式解の公式因数分解
2025/8/1

$4 < a \le 6$、$-3 \le b < 2$ のとき、以下の式の値の範囲を求める。 (1) $2a + 3b$ (2) $a - 4b$

不等式式の値の範囲一次式
2025/8/1

2次方程式 $x^2 - 2ax - a + 6 = 0$ が異なる2つの正の解を持つとき、定数 $a$ の値の範囲を求める。

二次方程式判別式解の範囲不等式
2025/8/1

二次方程式 $x^2 - x + 1 = 0$ の解を求め、その解の一つを $\omega$ とおいて、$\omega^3$, $\omega^{47}$, $\omega^{48}$ の値を求める問...

二次方程式複素数ド・モアブルの定理解の公式
2025/8/1