2次方程式 $x^2 - 2ax - a + 6 = 0$ が異なる2つの正の解を持つとき、定数 $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2ax - a + 6 = 0$ が異なる2つの正の解を持つとき、定数 $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

2次方程式 $f(x) = x^2 - 2ax - a + 6 = 0$ が異なる2つの正の解を持つための条件は、以下の3つである。

(1) 判別式 $D > 0$ (異なる2つの実数解を持つ条件)

(2) 軸 $x = a > 0$ (軸が正である条件)

(3) $f(0) > 0$ (y切片が正である条件)

まず、判別式 $D$ を計算する。

$D = (-2a)^2 - 4(1)(-a + 6) = 4a^2 + 4a - 24$

$D > 0$ より、

$4a^2 + 4a - 24 > 0$

$a^2 + a - 6 > 0$

$(a + 3)(a - 2) > 0$

したがって、$a < -3$ または $a > 2$

次に、軸 $x = a$ について、$a > 0$

最後に、$f(0) > 0$ より、

$f(0) = 0^2 - 2a(0) - a + 6 = -a + 6$

$-a + 6 > 0$

$a < 6$

3つの条件をまとめると、

(1) $a < -3$ または $a > 2$

(2) $a > 0$

(3) $a < 6$

これらを全て満たす範囲は、$2 < a < 6$

3. 最終的な答え

$2 < a < 6$