$\sin \theta \cos \theta = -\frac{1}{2}$ ($0^\circ < \theta < 180^\circ$)のとき、$\sin \theta + \cos \theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\sin \theta \cos \theta = -\frac{1}{2}$ ($0^\circ < \theta < 180^\circ$)のとき、$\sin \theta + \cos \theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$(\sin \theta + \cos \theta)^2$ を計算する。

$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta$

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ であるから、

$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = 1 + 2 \sin \theta \cos \theta$

$\sin \theta \cos \theta = -\frac{1}{2}$ を代入すると、

$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = 1 + 2 \left( -\frac{1}{2} \right) = 1 - 1 = 0$

したがって、

$\sin \theta + \cos \theta = 0$

$0^\circ < \theta < 180^\circ$ より $\sin \theta > 0$ である。

$\sin \theta + \cos \theta = 0$ より $\cos \theta = - \sin \theta < 0$。

これは $90^\circ < \theta < 180^\circ$ となることを意味する。

$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = 0$ より、 $\sin \theta + \cos \theta = 0$.

3. 最終的な答え

$\sin \theta + \cos \theta = 0$