(1) 整式 $P(x)$ を $(x+1)^2$ で割ったときの余りが $18x+9$ であり、$x-2$ で割ったときの余りが $9$ であるとき、$P(x)$ を $(x+1)^2(x-2)$ で割ったときの余りを求める。 (2) 整式 $x^{2023}-1$ を整式 $x^4+x^3+x^2+x+1$ で割ったときの余りを求める。

1. 問題の内容

(1) 整式 $P(x)$ を $(x+1)^2$ で割ったときの余りが $18x+9$ であり、$x-2$ で割ったときの余りが $9$ であるとき、$P(x)$ を $(x+1)^2(x-2)$ で割ったときの余りを求める。

(2) 整式 $x^{2023}-1$ を整式 $x^4+x^3+x^2+x+1$ で割ったときの余りを求める。

2. 解き方の手順

(1)

$P(x)$ を $(x+1)^2(x-2)$ で割ったときの商を $Q(x)$、余りを $ax^2+bx+c$ とすると、

$$P(x) = (x+1)^2(x-2)Q(x) + ax^2+bx+c$$

$(x+1)^2$ で割ったときの余りが $18x+9$ なので、

$ax^2+bx+c = a(x+1)^2 + 18x+9 = a(x^2+2x+1) + 18x+9 = ax^2 + (2a+18)x + (a+9)$

したがって、$P(x) = (x+1)^2(x-2)Q(x) + a(x+1)^2 + 18x+9$

$P(2)=9$ なので、

$P(2) = a(2+1)^2 + 18(2)+9 = 9a + 36 + 9 = 9a+45 = 9$

$9a = -36$

$a = -4$

したがって、求める余りは $-4(x+1)^2 + 18x+9 = -4(x^2+2x+1) + 18x+9 = -4x^2 - 8x - 4 + 18x + 9 = -4x^2 + 10x + 5$

(2)

$x^5-1 = (x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)$

$x^4+x^3+x^2+x+1 = \frac{x^5-1}{x-1}$

$x^{2023} = (x^5)^{404} \cdot x^3$

$x^{2023} - 1 = (x^5)^{404} \cdot x^3 - 1 = (x^5)^{404}x^3 - x^3 + x^3 - 1 = x^3((x^5)^{404} - 1) + x^3 - 1$

$(x^5)^{404} - 1 = (x^5 - 1)((x^5)^{403} + (x^5)^{402} + \dots + x^5 + 1)$

したがって、

$x^{2023} - 1 = x^3(x^5-1)(\sum_{k=0}^{403}(x^5)^k) + x^3 - 1 = x^3(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)(\sum_{k=0}^{403}(x^5)^k) + x^3 - 1$

したがって、余りは $x^3-1$

3. 最終的な答え

(1) $-4x^2+10x+5$

(2) $x^3-1$