$a, b, x$ は実数、$n$ は自然数とします。次の命題の真偽を調べ、偽のときは反例を1つ示してください。 (1) $a = 0 \implies ab = 0$ (2) $a^2 = 3a \implies a = 3$ (3) $|x| > 1 \implies x \geq 1$ (4) $n$ は2の倍数 $\implies$ $n$ は4の倍数

1. 問題の内容

$a, b, x$ は実数、$n$ は自然数とします。次の命題の真偽を調べ、偽のときは反例を1つ示してください。

(1) $a = 0 \implies ab = 0$

(2) $a^2 = 3a \implies a = 3$

(3) $|x| > 1 \implies x \geq 1$

(4) $n$ は2の倍数 $\implies$ $n$ は4の倍数

2. 解き方の手順

(1) $a = 0$ のとき、$ab = 0$ は常に成り立つので、この命題は真です。

(2) $a^2 = 3a$ を満たす $a$ は $a^2 - 3a = 0$ より $a(a-3) = 0$ となるので、$a = 0$ または $a = 3$ です。したがって、$a = 0$ のとき $a^2 = 3a$ を満たしますが、$a = 3$ ではありません。よってこの命題は偽であり、反例は $a = 0$ です。

(3) $|x| > 1$ は $x > 1$ または $x < -1$ を意味します。したがって、$x < -1$ のとき $x \geq 1$ は成り立ちません。よってこの命題は偽であり、反例は $x = -2$ などです。

(4) $n$ が2の倍数であるとき、$n$ は $2k$ ($k$ は自然数) と表せます。$n$ が4の倍数であるためには、$n = 4m$ ($m$ は自然数) と表せなければなりません。$n = 2k$ が $4m$ でない場合があるので、この命題は偽です。例えば、$n = 2$ は2の倍数ですが、4の倍数ではありません。よって、反例は $n = 2$ です。

3. 最終的な答え

(1) 真

(2) 偽、反例：$a=0$

(3) 偽、反例：$x=-2$

(4) 偽、反例：$n=2$