$\sin\theta\cos\theta = -\frac{1}{2}$ ($0^\circ < \theta < 180^\circ$) のとき、以下の値を求めよ。 (1) $\sin\theta + \cos\theta$ (2) $\cos\theta - \sin\theta$

1. 問題の内容

$\sin\theta\cos\theta = -\frac{1}{2}$ ($0^\circ < \theta < 180^\circ$) のとき、以下の値を求めよ。

(1) $\sin\theta + \cos\theta$

(2) $\cos\theta - \sin\theta$

2. 解き方の手順

(1) $\sin\theta + \cos\theta$ を求める。

$(\sin\theta + \cos\theta)^2 = \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta$

三角関数の基本公式 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を用いると、

$(\sin\theta + \cos\theta)^2 = 1 + 2\sin\theta\cos\theta$

問題文より、$\sin\theta\cos\theta = -\frac{1}{2}$ なので、

$(\sin\theta + \cos\theta)^2 = 1 + 2(-\frac{1}{2}) = 1 - 1 = 0$

したがって、$\sin\theta + \cos\theta = 0$

(2) $\cos\theta - \sin\theta$ を求める。

$(\cos\theta - \sin\theta)^2 = \cos^2\theta - 2\sin\theta\cos\theta + \sin^2\theta$

三角関数の基本公式 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を用いると、

$(\cos\theta - \sin\theta)^2 = 1 - 2\sin\theta\cos\theta$

問題文より、$\sin\theta\cos\theta = -\frac{1}{2}$ なので、

$(\cos\theta - \sin\theta)^2 = 1 - 2(-\frac{1}{2}) = 1 + 1 = 2$

したがって、$\cos\theta - \sin\theta = \pm\sqrt{2}$

$\sin\theta + \cos\theta = 0$ より、$\sin\theta = -\cos\theta$

$0^\circ < \theta < 180^\circ$ より、$\sin\theta > 0$ なので、$\cos\theta < 0$

したがって、$\cos\theta - \sin\theta = \cos\theta - (-\cos\theta) = 2\cos\theta < 0$

よって、$\cos\theta - \sin\theta = -\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin\theta + \cos\theta = 0$

(2) $\cos\theta - \sin\theta = -\sqrt{2}$