二次方程式 $x^2 - x + 1 = 0$ の解を求め、その解の一つを $\omega$ とおいて、$\omega^3$, $\omega^{47}$, $\omega^{48}$ の値を求める問題。

1. 問題の内容

二次方程式 $x^2 - x + 1 = 0$ の解を求め、その解の一つを $\omega$ とおいて、$\omega^3$, $\omega^{47}$, $\omega^{48}$ の値を求める問題。

2. 解き方の手順

まず、二次方程式 $x^2 - x + 1 = 0$ の解を二次方程式の解の公式を用いて求める。

解の公式は $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ である。

この問題では、$a = 1$, $b = -1$, $c = 1$ なので、

$x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{3}i}{2}$

したがって、解は $\frac{1 \pm \sqrt{3}i}{2}$ となる。

$\omega$ を解の一つ、例えば $\omega = \frac{1 + \sqrt{3}i}{2}$ とおく。

$\omega^3$ を求める。$\omega = \frac{1 + \sqrt{3}i}{2}$は、$x^2 - x + 1 = 0$の解なので、$\omega^2 = \omega - 1$は正しくない。しかし、$x^2 - x + 1 = 0$から、$x^2 = x - 1$を得る。

$\omega^2 = \omega - 1$ という関係を利用しても良いが、$\omega = \frac{1 + \sqrt{3}i}{2} = cos(\frac{\pi}{3}) + isin(\frac{\pi}{3})$であるので、ド・モアブルの定理より、

$\omega^3 = (cos(\frac{\pi}{3}) + isin(\frac{\pi}{3}))^3 = cos(\pi) + isin(\pi) = -1$

$\omega^3 = -1$

$\omega^{47}$ を求める。

$\omega^{47} = \omega^{3 \times 15 + 2} = (\omega^3)^{15} \times \omega^2 = (-1)^{15} \times \omega^2 = -\omega^2$

$\omega^2 = \omega - 1$ より、

$\omega^{47} = -(\omega - 1) = -\omega + 1 = 1 - \omega$

$\omega^{48}$ を求める。

$\omega^{48} = (\omega^3)^{16} = (-1)^{16} = 1$

3. 最終的な答え

$x = \frac{1 \pm \sqrt{3}i}{2}$

$\omega = \frac{1 + \sqrt{3}i}{2}$

$\omega^3 = -1$

$\omega^{47} = 1 - \omega$

$\omega^{48} = 1$