与えられた2つの置換 $\sigma_1$ と $\sigma_2$ の符号を求める問題です。$\sigma_1$ は 9 個の要素の置換であり、$\sigma_2$ は $n$ 個の要素の置換です。

1. 問題の内容

与えられた2つの置換 $\sigma_1$ と $\sigma_2$ の符号を求める問題です。$\sigma_1$ は 9 個の要素の置換であり、$\sigma_2$ は $n$ 個の要素の置換です。

2. 解き方の手順

(1) 置換 $\sigma_1$ の符号を求めます。置換 $\sigma_1$ は

$\sigma_1 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 6 & 8 & 7 & 1 & 9 & 4 & 3 & 5 & 2 \end{pmatrix}$

と与えられています。$\sigma_1$ を巡回置換の積として表します。

$1 \to 6 \to 4 \to 1$

$2 \to 8 \to 5 \to 9 \to 2$

$3 \to 7 \to 3$

したがって、$\sigma_1 = (1\ 6\ 4)(2\ 8\ 5\ 9)(3\ 7)$ と分解できます。

巡回置換 $(1\ 6\ 4)$ は長さ 3 の巡回置換なので、互換の積として $(1\ 6)(6\ 4)$ と表され、符号は $(-1)^{3-1} = (-1)^2 = 1$です。

巡回置換 $(2\ 8\ 5\ 9)$ は長さ 4 の巡回置換なので、互換の積として $(2\ 8)(8\ 5)(5\ 9)$ と表され、符号は $(-1)^{4-1} = (-1)^3 = -1$です。

巡回置換 $(3\ 7)$ は長さ 2 の巡回置換なので、互換の積として $(3\ 7)$ と表され、符号は $(-1)^{2-1} = (-1)^1 = -1$です。

$\sigma_1$ の符号は、これらの巡回置換の符号の積なので、$\mathrm{sgn}(\sigma_1) = (1)(-1)(-1) = 1$ となります。

(2) 置換 $\sigma_2$ の符号を求めます。置換 $\sigma_2$ は

$\sigma_2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n-1 & n \\ n & n-1 & \cdots & 2 & 1 \end{pmatrix}$

と与えられています。$\sigma_2$ は $(1\ n)(2\ n-1)(3\ n-2)\cdots$ と互換の積として表されます。

$n$ が偶数の場合、互換の数は $n/2$ 個です。

$n$ が奇数の場合、互換の数は $(n-1)/2$ 個です。

いずれにしても、$\sigma_2$ を互換の積で表すと、$\lfloor n/2 \rfloor$ 個の互換の積になります。ここで $\lfloor x \rfloor$ は $x$ を超えない最大の整数を表します。

したがって、$\sigma_2$ の符号は $(-1)^{\lfloor n/2 \rfloor}$ です。

より正確に言うと、$\sigma_2$は互換 $(1\ n), (2\ n-1), \dots, (\lfloor n/2 \rfloor, n - \lfloor n/2 \rfloor+1)$ の積で表されるので、$\sigma_2$の符号は $(-1)^{\lfloor n/2 \rfloor}$となります。

3. 最終的な答え

(1) $\sigma_1$ の符号: 1

(2) $\sigma_2$ の符号: $(-1)^{\lfloor n/2 \rfloor}$