$a$ を正の定数とする。関数 $y = a^2x^2 - 2ax - 1$ ($1 \le x \le 3$) の最大値を $M$, 最小値を $m$ とする。 (1) $M$ と $m$ をそれぞれ $a$ を用いて表せ。 (2) $M - m = \frac{1}{3}$ であるときの $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ を正の定数とする。関数 $y = a^2x^2 - 2ax - 1$ ($1 \le x \le 3$) の最大値を $M$, 最小値を $m$ とする。

(1) $M$ と $m$ をそれぞれ $a$ を用いて表せ。

(2) $M - m = \frac{1}{3}$ であるときの $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) まず、与えられた関数を平方完成します。

$$y = a^2x^2 - 2ax - 1 = a^2(x^2 - \frac{2}{a}x) - 1 = a^2(x - \frac{1}{a})^2 - a^2 \cdot \frac{1}{a^2} - 1 = a^2(x - \frac{1}{a})^2 - 2$$

軸は $x = \frac{1}{a}$ です。

次に、定義域 $1 \le x \le 3$ と軸 $x = \frac{1}{a}$ の位置関係によって場合分けを行います。

(i) $\frac{1}{a} < 1$, つまり $a > 1$ のとき

このとき、軸は定義域の左側にあります。したがって、$x=1$ で最大、$x=3$ で最小となります。

$M = a^2 - 2a - 1$, $m = 9a^2 - 6a - 1$

(ii) $1 \le \frac{1}{a} \le 3$, つまり $\frac{1}{3} \le a \le 1$ のとき

このとき、軸は定義域の中にあります。したがって、$x = \frac{1}{a}$ で最小、$x=3$ で最大となります。

$M = 9a^2 - 6a - 1$, $m = -2$

(iii) $\frac{1}{a} > 3$, つまり $0 < a < \frac{1}{3}$ のとき

このとき、軸は定義域の右側にあります。したがって、$x=3$ で最大、$x=1$ で最小となります。

$M = 9a^2 - 6a - 1$, $m = a^2 - 2a - 1$

(2) $M - m = \frac{1}{3}$ となる $a$ の値を求めます。

(i) $a > 1$ のとき

$M - m = (a^2 - 2a - 1) - (9a^2 - 6a - 1) = -8a^2 + 4a = \frac{1}{3}$

$24a^2 - 12a + 1 = 0$

$a = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 96}}{48} = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{48} = \frac{12 \pm 4\sqrt{3}}{48} = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{12}$

$a > 1$ より、$a = \frac{3 + \sqrt{3}}{12}$ は不適。

(ii) $\frac{1}{3} \le a \le 1$ のとき

$M - m = (9a^2 - 6a - 1) - (-2) = 9a^2 - 6a + 1 = (3a - 1)^2 = \frac{1}{3}$

$3a - 1 = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

$3a = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3}$

$a = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{9}$

$\frac{1}{3} \le a \le 1$ より、$a = \frac{3 + \sqrt{3}}{9}$ が適する。

(iii) $0 < a < \frac{1}{3}$ のとき

$M - m = (9a^2 - 6a - 1) - (a^2 - 2a - 1) = 8a^2 - 4a = \frac{1}{3}$

$24a^2 - 12a - 1 = 0$

$a = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 96}}{48} = \frac{12 \pm \sqrt{240}}{48} = \frac{12 \pm 4\sqrt{15}}{48} = \frac{3 \pm \sqrt{15}}{12}$

$0 < a < \frac{1}{3}$ より、$a = \frac{3 + \sqrt{15}}{12}$ は不適。

$a = \frac{3 - \sqrt{15}}{12}$

$a = \frac{3 + \sqrt{3}}{9} = \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3}}{9}$

3. 最終的な答え

(1)

$a > 1$ のとき: $M = a^2 - 2a - 1$, $m = 9a^2 - 6a - 1$

$\frac{1}{3} \le a \le 1$ のとき: $M = 9a^2 - 6a - 1$, $m = -2$

$0 < a < \frac{1}{3}$ のとき: $M = 9a^2 - 6a - 1$, $m = a^2 - 2a - 1$

(2) $a = \frac{3 + \sqrt{3}}{9}$