1. (1) 長方形は平行四辺形であるという命題の真偽を答える。 (2) $-1 \leq x \leq 1 \implies -3 \leq x$ という命題の真偽を答える。 (3) $x^2 = 2x \implies x = 2$ という命題の真偽を答える。

1. 問題の内容

1. (1) 長方形は平行四辺形であるという命題の真偽を答える。

(2) $-1 \leq x \leq 1 \implies -3 \leq x$ という命題の真偽を答える。

(3) $x^2 = 2x \implies x = 2$ という命題の真偽を答える。

2. $x$ を実数とするとき、命題「$x^2 + 8x + 9 = 0 \implies x < -4$」は偽である。この命題に対する反例を答える。

3. 解き方の手順

4. (1) 長方形は向かい合う辺が平行で長さが等しいので、平行四辺形である。よって、命題は真である。

(2) $-1 \leq x \leq 1$ ならば、必ず $-3 \leq x$ である。よって、命題は真である。

(3) $x^2 = 2x$ は $x^2 - 2x = 0$ と変形できる。これを因数分解すると $x(x - 2) = 0$ となる。したがって、$x = 0$ または $x = 2$ である。$x = 0$ のとき、$x = 2$ は成り立たない。よって、命題は偽である。

5. $x^2 + 8x + 9 = 0$ を解く。解の公式より、

$$x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{-8 \pm 2\sqrt{7}}{2} = -4 \pm \sqrt{7}$$

したがって、$x = -4 + \sqrt{7}$ または $x = -4 - \sqrt{7}$ である。

$x = -4 + \sqrt{7}$ のとき、$\sqrt{7} \approx 2.646$ であるから、$x \approx -4 + 2.646 = -1.354$ となり、$x > -4$ である。したがって、$x = -4 + \sqrt{7}$ は $x^2 + 8x + 9 = 0$ を満たすが、$x < -4$ を満たさないので、反例である。

6. 最終的な答え

7. (1) 真

(2) 真

(3) 偽

8. $x = -4 + \sqrt{7}$