不等式 $\sqrt{4x+5} > \frac{1}{2}(x+5)$ を解く問題です。

代数学不等式平方根二次不等式因数分解
2025/7/31

1. 問題の内容

不等式 4x+5>12(x+5)\sqrt{4x+5} > \frac{1}{2}(x+5) を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、4x+5\sqrt{4x+5} が実数として定義されるためには、4x+504x+5 \geq 0 である必要があります。したがって、x54x \geq -\frac{5}{4} が条件となります。
次に、不等式を解きます。
両辺を2乗して、
4x+5>14(x+5)24x+5 > \frac{1}{4}(x+5)^2
両辺に4を掛けて、
16x+20>(x+5)216x+20 > (x+5)^2
展開して整理すると、
16x+20>x2+10x+2516x+20 > x^2+10x+25
0>x26x+50 > x^2-6x+5
x26x+5<0x^2-6x+5 < 0
因数分解すると、
(x1)(x5)<0(x-1)(x-5) < 0
よって、1<x<51 < x < 5
最初に求めた条件 x54x \geq -\frac{5}{4}1<x<51 < x < 5 を合わせると、1<x<51 < x < 5 が解となります。

3. 最終的な答え

1<x<51 < x < 5

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