$5.4^n$ の整数部分が3桁であるような整数 $n$ の個数を求める問題です。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$、$\log_{10}3 = 0.4771$ とします。

1. 問題の内容

$5.4^n$ の整数部分が3桁であるような整数 $n$ の個数を求める問題です。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$、$\log_{10}3 = 0.4771$ とします。

2. 解き方の手順

$5.4^n$ の整数部分が3桁であるということは、$5.4^n$ が100以上1000未満であるということです。したがって、

$100 \le 5.4^n < 1000$

この不等式の各辺の常用対数をとると、

$\log_{10}100 \le \log_{10}5.4^n < \log_{10}1000$

$2 \le n\log_{10}5.4 < 3$

ここで、$5.4 = \frac{54}{10} = \frac{2 \cdot 3^3}{10}$ であるから、

$\log_{10}5.4 = \log_{10}\frac{2 \cdot 3^3}{10} = \log_{10}2 + 3\log_{10}3 - \log_{10}10 = \log_{10}2 + 3\log_{10}3 - 1$

$\log_{10}2 = 0.3010$、$\log_{10}3 = 0.4771$ を代入すると、

$\log_{10}5.4 = 0.3010 + 3(0.4771) - 1 = 0.3010 + 1.4313 - 1 = 0.7323$

したがって、$2 \le n(0.7323) < 3$ となります。

各辺を $0.7323$ で割ると、

$\frac{2}{0.7323} \le n < \frac{3}{0.7323}$

$2.731 \le n < 4.097$

整数 $n$ は $3$ と $4$ なので、個数は2個です。

3. 最終的な答え

2個