不等式 $9^n < 100000$ を満たす最大の整数 $n$ を求めよ。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$, $\log_{10}3 = 0.4771$とする。

代数学不等式対数指数関数常用対数
2025/7/31

1. 問題の内容

不等式 9n<1000009^n < 100000 を満たす最大の整数 nn を求めよ。ただし、log102=0.3010\log_{10}2 = 0.3010, log103=0.4771\log_{10}3 = 0.4771とする。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式の両辺の常用対数をとります。
log10(9n)<log10(100000)\log_{10}(9^n) < \log_{10}(100000)
対数の性質を用いて変形すると、
nlog109<log10105n\log_{10}9 < \log_{10}10^5
nlog1032<5n\log_{10}3^2 < 5
2nlog103<52n\log_{10}3 < 5
与えられたlog103=0.4771\log_{10}3 = 0.4771を代入すると、
2n(0.4771)<52n(0.4771) < 5
0.9542n<50.9542n < 5
n<50.9542n < \frac{5}{0.9542}
n<5.2399...n < 5.2399...
nnは整数なので、不等式を満たす最大の整数は5です。

3. 最終的な答え

5

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