複素数 $z = \frac{\sqrt{3} + i}{1-i}$ について、以下の2つの問いに答えます。 (1) $z$ を極形式で表します。ただし、偏角 $\theta$ は $0 \leq \theta < 2\pi$ を満たすものとします。 (2) $z^8$ を実数 $a, b$ を用いて $a + bi$ の形で表します。

1. 問題の内容

複素数 $z = \frac{\sqrt{3} + i}{1-i}$ について、以下の2つの問いに答えます。

(1) $z$ を極形式で表します。ただし、偏角 $\theta$ は $0 \leq \theta < 2\pi$ を満たすものとします。

(2) $z^8$ を実数 $a, b$ を用いて $a + bi$ の形で表します。

2. 解き方の手順

(1) $z$ を極形式で表す。

まず、$z$ を計算し、簡単な形にします。

$z = \frac{\sqrt{3} + i}{1-i} = \frac{(\sqrt{3} + i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{\sqrt{3} + i + \sqrt{3}i - 1}{1 - i^2} = \frac{(\sqrt{3}-1) + (\sqrt{3}+1)i}{2} = \frac{\sqrt{3}-1}{2} + \frac{\sqrt{3}+1}{2}i$

次に、$z = x + yi$ とおくと、$x = \frac{\sqrt{3}-1}{2}, y = \frac{\sqrt{3}+1}{2}$ となります。

$r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}-1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}+1}{2})^2} = \sqrt{\frac{3 - 2\sqrt{3} + 1 + 3 + 2\sqrt{3} + 1}{4}} = \sqrt{\frac{8}{4}} = \sqrt{2}$

$\cos\theta = \frac{x}{r} = \frac{\frac{\sqrt{3}-1}{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

$\sin\theta = \frac{y}{r} = \frac{\frac{\sqrt{3}+1}{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

$\cos\frac{\pi}{12} = \cos(45^{\circ} - 30^{\circ}) = \cos 45^{\circ}\cos 30^{\circ} + \sin 45^{\circ}\sin 30^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

$\sin\frac{\pi}{12} = \sin(45^{\circ} - 30^{\circ}) = \sin 45^{\circ}\cos 30^{\circ} - \cos 45^{\circ}\sin 30^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

したがって、$\theta = \frac{5\pi}{12}$ (∵ $\cos\theta = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}, \sin\theta = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$)

よって、$z = \sqrt{2}(\cos\frac{5\pi}{12} + i\sin\frac{5\pi}{12})$

(2) $z^8$ を $a + bi$ の形で表す。

$z = \sqrt{2}(\cos\frac{5\pi}{12} + i\sin\frac{5\pi}{12})$ であるから、ド・モアブルの定理より

$z^8 = (\sqrt{2})^8 (\cos(8\cdot\frac{5\pi}{12}) + i\sin(8\cdot\frac{5\pi}{12})) = 2^4 (\cos\frac{10\pi}{3} + i\sin\frac{10\pi}{3}) = 16 (\cos\frac{4\pi}{3} + i\sin\frac{4\pi}{3}) = 16 (-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i) = -8 - 8\sqrt{3}i$

3. 最終的な答え

(1) $z = \sqrt{2}(\cos\frac{5\pi}{12} + i\sin\frac{5\pi}{12})$

(2) $z^8 = -8 - 8\sqrt{3}i$