次の2つの2次式を複素数の範囲で因数分解せよ。 (1) $x^2 - 5x + 2$ (2) $x^2 - 4x + 9$

1. 問題の内容

次の2つの2次式を複素数の範囲で因数分解せよ。

(1) $x^2 - 5x + 2$

(2) $x^2 - 4x + 9$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 - 5x + 2 = 0$ の解を求める。解の公式を用いると、

$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{2}$

したがって、$x^2 - 5x + 2 = (x - \frac{5 + \sqrt{17}}{2})(x - \frac{5 - \sqrt{17}}{2})$

(2) $x^2 - 4x + 9 = 0$ の解を求める。解の公式を用いると、

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(9)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 36}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{-20}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}i}{2} = 2 \pm \sqrt{5}i$

したがって、$x^2 - 4x + 9 = (x - (2 + \sqrt{5}i))(x - (2 - \sqrt{5}i)) = (x - 2 - \sqrt{5}i)(x - 2 + \sqrt{5}i)$

3. 最終的な答え

(1) $(x - \frac{5 + \sqrt{17}}{2})(x - \frac{5 - \sqrt{17}}{2})$

(2) $(x - 2 - \sqrt{5}i)(x - 2 + \sqrt{5}i)$