関数 $y = ax + b$ において、 $-1 \le x \le 5$ のとき、$1 \le y \le 13$ となるような $a$ と $b$ の値を求めよ。ただし、$a < 0$ とする。

1. 問題の内容

関数 $y = ax + b$ において、 $-1 \le x \le 5$ のとき、$1 \le y \le 13$ となるような $a$ と $b$ の値を求めよ。ただし、$a < 0$ とする。

2. 解き方の手順

$a < 0$ であるから、関数 $y = ax + b$ は減少関数である。したがって、$x = -1$ のときに $y$ は最大値を取り、$x = 5$ のときに $y$ は最小値を取る。

したがって、次の連立方程式が成り立つ。

$$-a + b = 13$$

$$5a + b = 1$$

この連立方程式を解く。まず、上の式から下の式を引くと、

$$(-a + b) - (5a + b) = 13 - 1$$

$$-6a = 12$$

$$a = -2$$

$a = -2$ を $-a + b = 13$ に代入すると、

$$-(-2) + b = 13$$

$$2 + b = 13$$

$$b = 11$$

したがって、$a = -2$、$b = 11$ である。

3. 最終的な答え

$a = -2$, $b = 11$