問題は、二次方程式または二次不等式を解くことです。具体的には以下の問題があります。 (7) $x^2 - 9 = 3$ (8) $2x^2 - 7x + 6 = 0$ (9) $x^2 - 4x - 1 = 0$ (10) $x^2 - 3x + 2 < 0$ (11) $x^2 > 6x - 3$ (12) $x^2 + 6x + 10 > 0$

1. 問題の内容

問題は、二次方程式または二次不等式を解くことです。具体的には以下の問題があります。

(7) $x^2 - 9 = 3$

(8) $2x^2 - 7x + 6 = 0$

(9) $x^2 - 4x - 1 = 0$

(10) $x^2 - 3x + 2 < 0$

(11) $x^2 > 6x - 3$

(12) $x^2 + 6x + 10 > 0$

2. 解き方の手順

(7) $x^2 - 9 = 3$

まず、式を整理します。

$x^2 = 12$

両辺の平方根を取ります。

$x = \pm \sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}$

(8) $2x^2 - 7x + 6 = 0$

因数分解します。

$(2x - 3)(x - 2) = 0$

それぞれの因数が0になる場合を考えます。

$2x - 3 = 0$ より $x = \frac{3}{2}$

$x - 2 = 0$ より $x = 2$

(9) $x^2 - 4x - 1 = 0$

解の公式を使います。$ax^2 + bx + c = 0$ の解は $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ です。

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$

(10) $x^2 - 3x + 2 < 0$

因数分解します。

$(x - 1)(x - 2) < 0$

$x - 1 = 0$ と $x - 2 = 0$ を解くと、$x = 1$ と $x = 2$ になります。

$1 < x < 2$ のとき、$(x - 1) > 0$ かつ $(x - 2) < 0$ となり、不等式が成り立ちます。

(11) $x^2 > 6x - 3$

式を整理します。

$x^2 - 6x + 3 > 0$

解の公式を使います。$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(3)}}{2(1)} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 3 \pm \sqrt{6}$

したがって、$x < 3 - \sqrt{6}$ または $x > 3 + \sqrt{6}$

(12) $x^2 + 6x + 10 > 0$

平方完成します。

$(x + 3)^2 + 1 > 0$

$(x + 3)^2$ は常に0以上なので、$(x + 3)^2 + 1$ は常に1以上です。

したがって、すべての実数 $x$ で不等式が成り立ちます。

3. 最終的な答え

(7) $x = \pm 2\sqrt{3}$

(8) $x = \frac{3}{2}, 2$

(9) $x = 2 \pm \sqrt{5}$

(10) $1 < x < 2$

(11) $x < 3 - \sqrt{6}$ または $x > 3 + \sqrt{6}$

(12) すべての実数